AB: Lektion Grenzwerte (Teil 2)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Grenzwerten, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Bestimme die Grenzwerte (mittel).

a)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3}{x-2} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 0 } \)

Nehmen wir uns die Tipps zur Hilfe, die wir bezüglich den gebrochenrationalen Funktionen kennengelernt hatten. Dort hieß es, dass, wenn der Nennergrad > Zählergrad ist, der Grenzwert der x-Achse und damit y = 0 entspricht.

b)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3(x-2)}{x-2} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 3 } \)

Mit dem Wissen über gebrochenrationalen Funktionen können wir den Grenzwert direkt zu 3 ablesen, da Zählergrad = Nennergrad ist und die Vorfaktoren der höchsten Potenzen den Grenzwert bilden. Hier also \( \frac{3}{1} = 3 \).

c)

\( \lim\limits_{x\to2} \frac{3(x-2)}{x-2} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 3 } \)

Wir erkennen, dass wir (x-2) kürzen können, also eine hebbare Definitionslücke vorliegen haben. Daraufhin können wir den Wert 2 einfach einsetzen, da keine Problemstelle mehr vorliegt. Die neue Funktion sei g(x) = 3 und damit g(2) = 3.

d)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ ∞ } \)

Es ist Zählergrad > Nennergrad.

e)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x-2x^5} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ -2 } \)

Es ist Zählergrad = Nennergrad.

Hier auch beispielhaft eine andere Herangehensweise. Jene über das Kürzen.

\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x-2x^5} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^5·(\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^4} + 4)}{x^5·(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}-2)} \\ = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^4} + 4}{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}-2} = \frac{4}{-2} = -2 \)

Wir erinnern uns dabei, dass die Summanden mit x im Nenner alle zu 0 werden.

f)

\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^2-2x}{x^3-2x} = \) \( \bbox[#e1ffc1,5px]{ 0 } \)

Nennergrad > Zählergrad

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