AB: Lektion Grenzwerte (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Grenzwerten, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Bestimme die Grenzwerte (mittel).
\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3}{x-2} = \) \( 0 \)
Nehmen wir uns die Tipps zur Hilfe, die wir bezüglich den gebrochenrationalen Funktionen kennengelernt hatten. Dort hieß es, dass, wenn der Nennergrad > Zählergrad ist, der Grenzwert der x-Achse und damit y = 0 entspricht.
\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3(x-2)}{x-2} = \) \( 3 \)
Mit dem Wissen über gebrochenrationalen Funktionen können wir den Grenzwert direkt zu 3 ablesen, da Zählergrad = Nennergrad ist und die Vorfaktoren der höchsten Potenzen den Grenzwert bilden. Hier also \( \frac{3}{1} = 3 \).
\( \lim\limits_{x\to2} \frac{3(x-2)}{x-2} = \) \( 3 \)
Wir erkennen, dass wir (x-2) kürzen können, also eine hebbare Definitionslücke vorliegen haben. Daraufhin können wir den Wert 2 einfach einsetzen, da keine Problemstelle mehr vorliegt. Die neue Funktion sei g(x) = 3 und damit g(2) = 3.
\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x} = \) \( ∞ \)
Es ist Zählergrad > Nennergrad.
\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x-2x^5} = \) \( -2 \)
Es ist Zählergrad = Nennergrad.
Hier auch beispielhaft eine andere Herangehensweise. Jene über das Kürzen.
\( \lim\limits_{x \to \infty} \frac{3x^3-2x+4x^5}{x^3-2x-2x^5} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^5·(\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^4} + 4)}{x^5·(\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}-2)} \\ = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{2}{x^4} + 4}{\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^4}-2} = \frac{4}{-2} = -2 \)
Wir erinnern uns dabei, dass die Summanden mit x im Nenner alle zu 0 werden.
\( \lim\limits_{x\to\infty} \frac{3x^2-2x}{x^3-2x} = \) \( 0 \)
Nennergrad > Zählergrad