AB: Lektion Integration mittels Partialbruchzerlegung
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Integration mittels Partialbruchzerlegung, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Bestimme das Integral der Funktionen mittels der Partialbruchzerlegung.
\( f(x) = \frac{7x+1}{x^2+x-6} \)
Zuallererst müssen wir die Nullstellen des Nenners bestimmen. Dabei setzen wir diesen 0.
\( x^2 + x - 6 = 0 \)
Mit der p-q-Formel erhalten wir: \( x_1 = -3 \) und \( x_2 = 2 \). Damit haben wir den Ansatz:
\( \frac{7x+1}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3} \)
Nehmen wir hier direkt mal die Zuhaltemethode/Grenzwertmethode. Wenn wir uns also den Wert für x = 2 anschauen wollen (also A), heben wir links den Faktor (x - 2) zu und setzen x = 2 ein.
\( \frac{7\cdot2+1}{2+3} = \frac{15}{5} = 3 = A \)
Dasselbe für B:
\( \frac{7\cdot(-3)+1}{-3-2} = \frac{-20}{-5} = 4 = B \)
Damit:
\( \frac{7x+1}{x^2+x-6} = \frac{3}{x-2} + \frac{4}{x+3} \)
Nun können wir relativ leicht integrieren.
\( 3\int \frac{1}{x-2} \; dx + 4\int\frac{1}{x+3}\; dx = 3\ln(x-2) + 4\ln(x+3) + c \)
\( g(x) = \frac{6x+10}{x^2+2x-3} \)
Auch hier ist der Nenner zu faktorisieren und damit die Nennernullstellen zu bestimmen.
\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
Mit der p-q-Formel dann: \( x_1 = -3 \) und \( x_2 = 1 \).
\( \frac{6x+10}{(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3} \)
Nehmen wie gerade nochmals die Lösungsmethode mit der Zuhaltemethode:
Für A:
\( \frac{6\cdot1+10}{1+3} = \frac{16}{4} = 4 = A \)
Für B:
\( \frac{6\cdot{-3}+10}{-3-1} = \frac{-8}{-4} = 2 = B \)
Und damit:
\( \frac{6x+10}{(x-1)(x+3)} = \frac{4}{x-1} + \frac{2}{x+3} \)
Das kann man nun wieder integrieren.
\( 4\int\frac{1}{x-1}\; dx + 2\int \frac{1}{x+3} \;dx = 4\ln(x-1) + 2\ln(x+3) + c \)
\( h(x) = \frac{1-x}{(x+5)^2} \)
Den Ansatz können wir direkt hinschreiben.
\( \frac{1-x}{(x+5)^2} = \frac{A}{(x+5)} + \frac{B}{(x+5)^2} \)
Hier arbeiten wir am besten mit dem Koeffizientenvergleich. Dazu mit dem Hauptnenner (x+5)² multiplizieren.
\( 1-x = A(x+5) + B \)
\( 1-x = Ax + 5A + B \)
A kann direkt zu -1 abgelesen werden. Dann verbleibt:
\( 1 = 5A + B \\ 1 = -5 + B \\ B = 6 \\ \frac{1-x}{(x+5)^2} = \frac{-1}{x+5} + \frac{6}{(x+5)^2} \)
Damit integrieren:
\( -\int\frac{1-x}{x+5}\; dx + 6\int\frac{1}{(x+5)^2}\;dx \)
Das erste Integral ist wieder der Logarithmus. Für das zweite Integral erinnern wir uns an \( \frac{1}{u^2} \) und deren Stammfunktion \( \frac{-1}{u} \).
\( -\ln(x+5) - \frac{6}{x+5} + c \)
\( k(x) = \frac{7x^2+6x-4}{(x+1)^2(x-2)} \)
Der Ansatz:
\( \frac{7x^2+6x-4}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-2} \)
Koeffizientenvergleich soll das Mittel der Wahl sein (auch wenn wir zwei Lösungen mit der Zuhaltemethode errechnen könnten und sich das Problem drastisch vereinfachen würde).
\( 7x^2+6x-4 = A(x+1)(x-2) + B(x-2) + C(x+1)^2 \\ 7x^2+6x-4 = Ax^2-Ax-2A + Bx-2B + Cx^2+2Cx+C \)
Ordnen:
\( 7x^2+6x-4 = (A+C)x^2 + (-A+B+2C)x + (-2A-2B+C) \)
Nun die Koeffizienten vergleichen:
7 = A+C
6 = -A+B+2C
-2A-2B+C = -4
Das zu lösen sei nun euch überlassen: A = 3, B = 1 und C = 4
Damit haben wir:
\( \frac{7x^2+6x-4}{(x+1)^2(x-2)} = \frac{3}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{4}{x-2} \)
Das nun integrieren:
\( 3\int\frac{1}{x+1}\;dx + \int\frac{1}{(x+1)^2}\;dx + 4\int\frac{1}{x-2}\;dx \)
\( =3\ln(x+1) - \frac{1}{x+1} + 4\ln(x-2) + c \)
\( m(x) = \frac{8x+28}{x^2-49} \)
Erkennt man die dritte binomische Formel, kann man den Ansatz direkt hinschreiben.
\( \frac{8x+28}{x^2-49} = \frac{A}{x-7} + \frac{B}{x+7} \)
Hier können wir wieder die Zuhaltemethode verwenden.
Für A:
\( \frac{8\cdot7+28}{7+7} = \frac{84}{14} = 6 = A \)
Für B:
\( \frac{8\cdot(-7)+28}{-7-7} = \frac{-28}{-14} = 2 = B \)
Damit:
\( \frac{8x+28}{x^2-49} = \frac{6}{x-7} + \frac{2}{x+7} \)
Das Integral ist dann:
\( 6\int\frac{1}{x-7}\;dx + 2\int\frac{1}{x+7} \;dx = 6\ln(x-7) + 2\ln(x+7) + c \)