Partialbruchzerlegung - Einführung

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Standet ihr auch schon vor dem Problem, die Integration von \( \frac{1}{x^2} \) bestimmen zu müssen? Das sollte kein Problem darstellen und sicher ist der größte Teil in der Lage, das direkt als \( F = -\frac{1}{x} \) anzugeben.

Doch mag es auch Integrationen geben, wo die Regel \( F(x) = \frac{-1}{n-1}f_{n-1}(x-a) \) für Funktionen der Gestalt \( f(x)=\frac{1}{(x-a)^n} \) nicht mehr so einfach funktioniert.

Hier beispielsweise ist das schon nicht mehr so einfach:

$$\frac{2x+3}{(x-1)(x+1)}$$

Das direkt nach obiger Regel zu integrieren ist nicht möglich, aber das Wissen über die Partialbruchzerlegung gibt die Möglichkeit, den Ausdruck summandenweise auf bekannte Probleme zurückzuführen. Das folgende Wissen zur Partialbruchzerlegung erklärt, wie man vorgehen muss.

Die Partialbruchzerlegung ist ein wichtiges Hilfsmittel bei der Integration von gebrochen-rationalen Ausdrücken. Hingegen wird es in der Schule meist nicht verwendet und kann wohl von dem einen oder anderen übersprungen werden. An der Universität und weiterführenden Schulen wird die Partialbruchzerlegung eine Rolle spielen und soll auch der Vollständigkeit halber aufgeführt werden. Auch Neugierige sind herzlich dazu eingeladen weiterzulesen.

Anmerkung: Wer an der Theorie nicht interessiert ist, kann auch direkt zum Kapitel “3. Verfahren” springen.

Nutzen/Ziel der Integration

Unter einer gebrochen-rationalen Funktion versteht man eine Funktion \( f : D \to \mathbb R \), die als Quotient zweier Polynome mit reellen Koeffizienten gegeben ist.

Es gilt demnach

\( f(x)=\frac{q(x)}{p(x)} \)

mit \( q(x), p(x) \in Pol~ \mathbb R \)

dabei beinhaltet der Definitionsbereich D keine Nullstellen des Nennerpolynoms p(x)!

Des Weiteren gilt, dass p(x) irreduzibel ist und Grad p(x) > Grad q(x).

Stellt sich nun die Frage nach der Integration einer solchen Funktion, so treten keine Probleme auf, sollten die Polynome von derartiger Gestalt sein:

\( q(x)=1 \) und \( p(x)=x^n$ \)

Die Stammfunktion \( F_{1} \) der Funktion \( f_n \) für n=1 ist uns wohlbekannt.

\( f_1(x)=\frac{1}{x^1} \to F_1=ln(x) \)

Auch bereitet \( F_2 \) keine größeren Schwierigkeiten:

\( f_2(x)=\frac{1}{x^2} \to F_2=-\frac{1}{x} \)

Es ergibt sich, wie sich schnell erkennen lässt:

\( f_n(x)=\frac{1}{x^n} \to F_n=-\frac{f_{n-1}}{n-1} \)

Genauso einfach lässt sich für n > 1 sagen, dass für \( f(x)=\frac{1}{(x-a)^n} \) die Stammfunktion dieses Aussehen hat:

\( F(x)=\frac{-1}{n-1}f_{n-1}(x-a) \)

Umkehrung:

Wir schreiben \( t(x)=x-a \) und leiten \( F=-\frac{f_{n-1}}{n-1}t(x) \) ab (Kettenregel; t'(x)=1)

\( F'(x)= \begin{pmatrix}-\frac{f_{n-1}}{n-1}t\end{pmatrix}'=f_n(t(x))\cdot t'(x)=f_n(x-a)=f(x) \)

Wollen wir aber nun eine Integration einer beliebigen rationalen Funktion \( \frac{q(x)}{p(x)} \) durchführen,

so wird p(x) in seine Linearfaktoren zerlegt und die Partialbruchzerlegung kommt ins Spiel.

Mit ihr lässt sich dann obiges Anwenden und damit "einfach" integrieren.

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