Partialbruchzerlegung und Nullstellen

Grundsätzlich sind drei verschiedene Fälle zu unterscheiden.

- Einfache reelle Nullstellen

- komplexe Nullstellen

- mehrfache Nullstellen (hier: reell)

2.1 Reelle Nullstellen (einfach)

Es sei angenommen, dass das Polynom als Linearfaktorzerlegung geschrieben

werden kann. Dabei tritt keine Vielfachheit einer Nullstelle auf

\( p(x)=(x-x_1)\cdot(x-x_2) \cdot \ldots \cdot(x-x_m) \)

Die zugehörige Partialbruchzerlegung hat dann diese Gestalt.


\( \frac{q(x)}{p(x)}=\frac{a}{x-x_1}+\frac{b}{x-x_2} + \ldots \)

Die Berechnung soll später geklärt werden.

2.2 Komplexe Nullstellen

Gilt für p(x), dass keine reellen Nullstellen existieren, so lässt es sich nicht als Produkt von

Linearfaktoren darstellen.

\( p(x)=(x^2+ux_1+v_1)+\ldots ~mit~ u,v\in\mathbb R \)

Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber direkt vermeiden, weil mit jeder

komplexen Nullstelle \( z_i \) auch die konjugiert komplexe Zahl \( \overline {z_i} \) Nullstelle ist.

Anstatt \( \frac{a}{x-z_i} \) und \( \frac{b}{x-\overline {z_i}} \) lässt sich das ganze

auch als ein Term \( \frac{c+dx}{x^2+ux+v} \) darstellen, wobei gilt \( x^2+ux+v=(x-z_i)(x-\overline {z_i}) \) .

Da \( x^2+ux+v \) einer reellen quadratischen Form entspricht, sind auch c und d reell.

2.3 Mehrfache Nullstellen (reell)

Der Nennerterm p(x) sei auf die Form gebracht:

\( p(x)=(x-x_1)^{k_1}\cdot(x-x_2)^{k_2}\cdot...\cdot(x-x_m)^{k_m} \) für \( k_i>1 \)


Eine Vielfachheit der Nullstelle ist hier möglich.



Für den zu wählenden Ansatz gilt Folgendes:

\( \frac{q(x)}{(x-x_n)^k}=\frac{a}{(x-x_n)}+\frac{b}{(x-x_n)^2}+...+\frac{c}{(x-x_n)^k} \)

2.4 Mehrfache Nullstellen (komplex)

Der Nennerterm p(x) sei auf die Form gebracht:

\( p(x)=(x^2+ux+v)^{k_1}\cdot...\cdot(x^2+u_mx+v_m)^{k_m} \) für \( k_i>1 \)


Eine Vielfachheit der Nullstelle ist hier möglich.



Für den zu wählenden Ansatz gilt Folgendes:


\( \frac{q(x)}{(x^2+ux+v)^k}=\frac{ax+b}{(x^2+ux+v)}+\frac{cx+d}{(x^2+ux+v)^2}+...+\frac{ex+f}{(x^2+ux+v)^k} \)

  Hinweis senden