AB: Lektion Flächenberechnung mittels Integral II

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Flächenberechnung mittels Integralen, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

1.

Bestimme die Fläche zwischen den zwei Graphen:

Auch hier nehmen wir uns Schaubilder zu Hilfe. Zudem müssen wir die Differenzfunktion bestimmen und die zugehörigen Nullstellen (was den Schnittstellen der beiden ursprünglichen Funktionen entspricht). Die Flächen zwischen den Nullstellen werden betragsweise addiert und ergeben so den gesuchten Flächeninhalt.

a)

\( f(x) = -x^2 + 3 \) und \( g(x) = x + 1 \)

Bild B1

Die Differenzfunktion ist: \( h(x) = f(x) - g(x) = -x^2+3-(x+1) = -x^2-x+2 \)

Die Nullstellen kann man schnell mittels der p-q-Formel errechnen (vorsichtig, vorher mit -1 multiplizieren) und erhält x = -2 und x = 1 (siehe die Schnittstellen im Graphen).

\( \int_{-2}^1 -x^2-x+2 \; dx = \left[-\frac13x^3-\frac12x^2+2x\right]_{-2}^1 = 4,5 \)

Der Flächeninhalt beträgt 4,5 FE.

b)

\( f(x) = 1 + 0,5·x^3 \) und \( g(x) = (x + 2)^2 - 3 \)

Bild B2

Auch hier bestimmen wir wieder die Differenzfunktion h(x) zu \( h(x) = 0,5x^3-x^2-4x \). Da wir einmal x ausklammern können, um die Nullstellen zu berechnen, haben wir nur noch ein quadratisches Problem zu lösen, um die Nullstellen zu finden.

\( h(x) = 0,5x^3-x^2-4x = 0,5x(x^2-2x-8) = 0 \)

Mit der p-q-Formel erhalten wir dann insgesamt drei Lösungen: x = -2, x = 0 und x = 4. Entsprechend können wir unser Integral aufstellen:

\( I_1 = \int_{-2}^0 \frac12x^3-x^2-4x \;dx = \left[\frac18x^4-\frac13x^3-\frac42x^2\right]_{-2}^0 = \frac{10}{3} \\ I_2 = \int_{0}^4 \frac12x^3-x^2-4x \;dx = \left[\frac18x^4-\frac13x^3-\frac42x^2\right]_{0}^4 = -\frac{64}{3} \)

Addiert man beide Flächen betragsmäßig erhalten wir A = \( \frac{74}{3} \) FE.

c)

\( f(x) = 3·x^2·\ln(x) \) und \( g(x) = \ln(x) \)

Bild B3

Die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x) = 3x²·ln(x) - ln(x).

Nullstellen:

\( ln(x)(3x^2-1) = 0 \\ x = 1 \text{ und } 3x^2-1 = 0 \to x^2 = \frac13 \to x = \pm\frac{1}{\sqrt 3} \)

Bei letzterem brauchen wir nur die positive Lösung zu betrachten, da der Logarithmus x > 0 fordert.

\( \int_{\frac{1}{\sqrt 3}}^{\ln(x)} 3x^2\ln(x) - \ln(x) \;dx \)

Mit dem Vorwissen aus letzter Lektion kommen wir hier auf:

\( \left[-\frac{x^3}{3} + (x^3-x)\ln(x) + x\right]_{\frac{1}{\sqrt3}}^1 \approx -0,06 \)

Der Flächeninhalt ist also A = 0,06 FE.

d)

\( f(x) = x^2 \) und \( g(x) = x^2·\ln(x) \) sowie linker Hand begrenzt durch \( x_1 = 1 \)

Bild B4

Die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x) = 3x²·ln(x) - ln(x).

Auch hier bestimmen wir die Differenzfunktion wie üblich:

\( h(x) = x^2 - x^2\cdot\ln(x) = x^2\cdot (1-\ln(x)) \)

Die Nullstellen sind vermeintlich zu x = 0 und x = e abzulesen, wobei x = 0 sogar keine ist, denn ln(0) existiert nicht. Die Grenzen des Integrals sind nun 1 und e, denn die linke/untere Grenze ist mit x = 1 festgelegt:

\( \int_1^e x^2 - x^2\cdot\ln(x) \; dx = \left[\frac13x^3\ln(x) - \frac{4x^3}{9}\right]_1^e = -\frac49 + \frac{e^3}{9} \approx 1,79 \)

Der Flächeninhalt ist also etwa A = 1,79 FE.

e)

\( f(x) = 0,5·x^2 + 5 \) und \( g(x) = -0,5·x + 1 \) begrenzt durch \( x_1 = -2 \) und \( x_2 = 1 \)

Bild B5

Hier haben wir wieder die Differenzfunktion aufzustellen:

\( h(x) = 0,5x^2+5 - (-0,5x+1) = 0,5x^2+0,5x+4 \)

Wenn wir die p-q-Formel ansetzen um die Nullstellen zu berechnen (also vorher noch mit 2 multiplizieren), erhalten wir keine Nullstellen. Das ist aber in Ordnung, da wir die Grenzen x = -2 und x = 1 schon aus der Aufgabenstellung erhalten haben.

\( \int_{-2}^1 0,5x^2+0,5x+4 \; dx = \left[\frac16x^3+\frac14x^2+4x\right]_{-2}^1 = 12,75 \)

Der Flächeninhalt ist also mit A = 12,75 FE anzugeben.

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