Integrale zur Flächenberechnung zwischen zwei Graphen

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  1. Beispiel

Um die Fläche zwischen zwei Graphen zu bestimmen, geht man prinzipiell wie gewohnt vor. Der einzige größere Unterschied besteht in der Vorarbeit, bei der die Differenzfunktion der beiden Funktionen berechnet wird. Dabei wird die Differenzfunktion im Betrag betrachtet (auch hier gilt wieder, dass meist erst der Wert des Integrals berechnet wird und erst davon der Betrag gezogen wird).

Beispiel

Nehmen wir die beiden Funktion f(x) = x^2+1 sowie g(x) = x+1. Die Differenzfunktion ist demnach h(x) = f(x) - g(x) (Wichtig: Es spielt keine Rolle ob man h(x) = f(x) - g(x) oder als h(x) = g(x) - f(x) bezeichnet, da ja der Betrag verwendet wird).

Hat man die Differenzfunktion h(x) vorliegen, hat man die ganz zusätzliche Vorarbeit erledigt und kann vorgehen wie oben gezeigt. Dazu werden die Nullstellen berechnet und in deren Grenzen integriert.

\( h(x) = x^2+1 - (x+1) = x^2-x = 0 \)

\( x_{1} = 0 \) und \( x_{2} = 1 \)


\( \left|\int_0^1 h(x) \; dx \right| = \left|\int_0^1 x^2-x \; dx\right| = \left|\left[\frac13 x^3-\frac12 x^2\right]_0^1\right| \)

\( = \left|\frac13 - \frac12 - (0)\right| = \left|-\frac16\right| = \frac16 \)

Schauen wir uns das noch in ein paar Graphen ein. Zuerst die ursprüngliche Aufgabe, also betrachten wir die Fläche zwischen den beiden Graphen g und f.

Fläche zwischen zwei Graphen via Integral

Hier erkennen wir auch die Schnittstellen zu x = 0 und x = 1, wie wir sie bestimmt haben. Errechnet wird der Flächeninhalt nun über die Differenzfunktion. Die Differenzfunktion produziert nichts anderes als eine Vereinfachung, indem später nur noch die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnet werden muss. Was wir in Integralform hingeschrieben haben, sieht so aus:

Differenzfunktion

Das erinnert an die bisherigen Probleme und man geht genauso vor.

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