Integrale und Symmetrie

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Ein weiterer wichtiger Punkt soll noch eure Aufmerksamkeit finden, bevor ihr entlassen seid. Bei diesem geht es um die Symmetrie bei Integralen (Vorsicht: Unabhängig von der Flächenberechnung). Einen ersten Eindruck davon hatten wir schon in Beispiel 4 gewonnen. Dort hatten wir die Gesamtfläche berechnen sollen und erstmal ohne Betrag gerechnet. Das Ergebnis hatte 0 ausgespuckt. Dort waren wir aber an der Fläche interessiert und haben nachträglich noch die Beträge gesetzt. Jetzt holen wir uns das Beispiel aber nochmals her.

Punktsymmetrie

Fläche Graph 2x - Integral

Es gilt sich zu merken, dass im Falle einer Berechnung von Integralen (unabhängig von der Flächenberechnung) die Punktsymmetrie bei der Bestimmung dieser helfen kann, da sich Integrale mitunter zu 0 aufheben.

\( \int_{-3}^3 2x \; dx = \left[x^2\right]_{-3}^3 = 3^2 - (-3)^2 = 9-9 = 0 \)

So braucht man bei obigem Integral nur die Funktion f(x) = 2x anzuschauen und sie als eine punktsymmetrische Funktion zu identifizieren; sowie die Grenzen, die sich je gleich weit vom Symmetriepunkt entfernt befinden, um direkt den Wert 0 ausgeben zu können.

Achsensymmetrie

Hier heben sich die Teilbereiche zwar nicht gegenseitig auf, doch kann man sich durchaus die Arbeit erleichtern, wenn man weiß, dass man nur die Hälfte eines Integrals zu berechnen hat und den errechneten Teil verdoppeln kann, um auf das Ergebnis zu kommen.

Fläche Parabel Integral

Um zur Funktion f(x) = -x²+4 den Flächeninhalt zu errechnen, hatten wir zuvor gerechnet:

$$ \int_{-2}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \\ =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = -\left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3} $$

Hingegen kann man auch nur von 0 bis 2 integrieren und diesen Flächeninhalt verdoppeln, um auf dasselbe zu kommen (oft ist es einfacher 0 als Grenze einzusetzen, als beispielsweise -2).

\( 2\int_{0}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -2\int_{0}^2 x^2-4 \; dx = -2\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{0}^2 \)

\( =-2\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - 0\right) = -2\left(-\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3} \)

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