Integrale zur Flächenberechnung zwischen Graph und x-Achse

Lesedauer: 10 min | Vorlesen

Endlich kommen wir zu den Anwendungen von Integralen, die sich hauptsächlich auf die Flächenberechnung beschränken sollen. Mit den Hilfsmitteln, die wir kennengelernt haben, können wir diese nun berechnen. Dabei wollen wir zwei Fälle unterscheiden. Einmal die Berechnung einer Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse. Zum Anderen aber auch die Fläche zwischen zwei Graphen.

Für die Flächenberechnung zwischen einem Graphen und der x-Achse gehen wir vor, wie wir es im letzten Kapitel gesehen hatten. Wir nehmen die linke Grenze des interessanten Bereichs und die rechte Grenze des interessanten Bereichs und errechnen den Flächeninhalt über das bestimmte Integral. Oft wird dabei von Nullstelle zu Nullstelle integriert. Schauen wir uns ein paar Beispiele dazu an.

Beispiel 1

Berechnen der Fläche zwischen dem Graphen f und der x-Achse zwischen x = 2 und x = 5, mit f(x) = 5.

Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_2^5 5 \; dx = \left[5x\right]_2^5 = 5\cdot5 - 5\cdot2 = 15 \)

Das Ergebnis können wir leicht im Graphen überprüfen, da es sich nur um ein Rechteck handelt.

Fläche Integral Beispiel

Beispiel 2

Berechnen der Fläche, die von dem Graphen f und der x-Achse umschlossen wird. Dabei sei f(x) = -(x-2)(x+2).

Hier müssen wir zuerst die Nullstellen bestimmen, welche man direkt zu x = -2 und x = 2 ablesen kann und die unsere Grenzen bestimmen.

Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_{-2}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \)

\( =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = -\left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3} \)

Fläche Parabel Integral

Beispiel 2 - Alternative

Wie man im Graphen erkennt, ist die Funktion f(x) symmetrisch, es macht daher auch Sinn das Integral von 0 bis 2 zu errechnen und den Flächeninhalt zu verdoppeln. So spart man sich teils Zeit beim Einsetzen (da beim Einsetzen von 0 das Rechnen entfällt). Überprüfen wir, ob wir auf dasselbe kommen.

\( \int_{0}^2 -(x-2)(x+2) \; dx= -\int_{0}^2 x^2-4 \; dx = -\left[\frac13x^3 - 4x\right]_{0}^2 \)

\( =-\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - 0\right) = \frac{16}{3} \)

Das müssen wir noch verdoppeln und kommen ebenfalls auf \( 2\cdot\frac{16}{3} = \frac{32}{3} \) .

Beispiel 3

Ganz so einfach wie in den beiden obigen Beispielen muss es aber nicht immer zugehen. Befindet sich der Flächeninhalt einmal über und einmal unter der x-Achse, muss das gesondert betrachtet werden. Denn der Flächeninhalt unter der x-Achse ist “negativ orientiert” und trägt ein negatives Vorzeichen. Ist man rein an einer Fläche interessiert, wird der negativ orientierte Teil im Betrag betrachtet. Wenn wir uns also Beispiel 2 nochmals anschauen und den Graphen umdrehen, ändert sich abgesehen vom Vorzeichen nichts.

Das Integral stellt sich damit auf zu:

\( \int_{-2}^2 (x-2)(x+2) \; dx= \int_{-2}^2 x^2-4 \; dx = \left[\frac13x^3 - 4x\right]_{-2}^2 \)

\( =\left(\frac13\cdot2^3 - 4\cdot2 - \left(\frac13 \cdot(-2)^3 - 4\cdot(-2)\right)\right) = \left(-\frac{16}{3} - \frac{16}{3}\right) = -\frac{32}{3} \)

Fläche Parabel nach unten - Integral

Da es aber keine negativen Flächen gibt, wird das Integral im Betrag betrachtet.

\( \left|\int_{-2}^2 (x-2)(x+2) \; dx\right| = \left|-\frac{32}{3}\right| = \frac{32}{3} \)

Meist wird das Integral ohne Betrag errechnet und erst am Schluss erwähnt, dass Flächen positiv zu sein haben und das Ergebnis betragsmäßig betrachtet wird.

Beispiel 4

Noch etwas spannender wird es, wenn sowohl eine Fläche über und eine Fläche unter der x-Achse vorzufinden sind. Nehmen wir dazu die Funktion f(x) = 2x und integrieren sie im Bereich zwischen -3 und 3.

Erst einmal ohne Betragsstriche und stur wie in den ersten Beispielen:

\( \int_{-3}^3 2x \; dx = \left[x^2\right]_{-3}^3 = 3^2 - (-3)^2 = 9-9 = 0 \)


Laut Integral soll der Flächeninhalt zwischen der x-Achse, des Graphen und der genannten Grenzen 0 sein. Wie wir aus dem Graphen entnehmen, ist das falsch.

Fläche Graph 2x - Integral

Was wir machen müssen, ist die Fläche unter der x-Achse getrennt zu errechnen und dann zu der Fläche über der x-Achse addieren. Dabei nutzen wir wieder den Betrag (Alternativ könnte man hier wieder mit der Symmetrie argumentieren und nur eine Seite berechnen und den Wert verdoppeln). Machen wir das.

\( \left|\int_{-3}^0 2x \; dx \right| + \left|\int_{0}^3 2x \; dx\right| = \left|\left[x^2\right]_{-3}^0\right| + \left|\left[x^2\right]_{0}^3\right| = |9| + |9| = 18 \)

Auch das können wir wieder im Graphen recht leicht überprüfen und bestätigen.

Anmerkung: Hat man mehrere Flächen, die sich abwechselnd über und unter der x-Achse befinden, so müssen alle Intervalle extra berechnet werden. Von Nullstelle zu Nullstelle.

  Hinweis senden