AB: Lektion Kreis (Teil 2)

Die folgenden Aufgaben prüft, ob du das Wissen zum Kreis anwenden kannst. Schreibe den Lösungsweg vollständig auf, um deine Fehler nachher schneller zu entdecken.

1.

Rechenaufgaben zum Kreis:

a)

Der Durchmesser eines kreisrunden Baumstamms beträgt 1,5 m. Wie groß ist der Umfang des Baumstamms?

gegeben: Durchmesser d = 1,5 m

gesucht: Umfang u

Lösung:

Formel für Kreisumfang: u = 2·π · r

Radius r = d : 2 = 1,5 m : 2 = 0,75 m

Radius einsetzen in Formel für Kreisumfang:

u = 2·π · r

u = 2·π · 0,75 m

u ≈ 4,712 m

Antwort: Der Baumstamm hat einen Durchmesser von ca. 4,712 m.

b)

Die Erde hat entlang des Äquators einen Umfang von 40.075 km. Der Äquator sei kreisförmig und die Erde eine Kugel. Wie weit ist es von der Erdoberfläche bis zum Erdmittelpunkt?

gegeben: Umfang der Erde = 40.075 km

gesucht: Radius r (Der Durchmesser ist die Strecke von der einen Seite des Kreises zu anderen Seite des Kreises durch den Mittelpunkt. Wir wollen jedoch nur die Hälfte der Strecke, also den Radius.)

Lösung:

Formel für Kreisumfang: u = 2·π · r

Formel zunächst nach r umstellen:

u = 2·π · r   | :2·π

u:(2·π) = r   | Bruchschreibweise

\( \frac{u}{2·\pi} = r \\ r = \frac{u}{2·\pi} \qquad | u = \text{ 40.075 km einsetzen } \\ r = \frac{40.075 \text{ km }}{2 · \pi} \\ r ≈ 6.378,13 \text{ km } \)

Antwort: Der Radius der Erde, also die Entfernung von Erdoberfläche zum Erdmittelpunkt beträgt ca. 6.378,13 km.

c)

Aus einer rechteckigen Holzplatte mit den Maßen 1,20 m · 0,70 m soll ein größtmöglicher Kreis herausgeschnitten werden. Welche Fläche und welchen Radius hat dieser Kreis?

- Maße der rechteckigen Holzplatte: 1,20 m · 0,70 m
- damit ist der größtmögliche Durchmesser für den Kreis 0,70 m

Radius:
r = d : 2
r = 0,70 m : 2
r = 0,35 m

Kreisfläche:
A = π · r2
A = π · (0,35 m)2
A = π · 0,35² m2
A = π · 0,1225 m2
A ≈ 0,385 m2

Antwort: Der größtmögliche auszuschneidende Kreis hat einen Radius von 0,35 m und eine Kreisfläche von ca. 0,385 m².

d)

Die Turmuhr des Big Ben hat einen Durchmesser von 7,0 m. Der Stundenzeiger wandert von 12 Uhr auf 5 Uhr, wie viel Fläche wird dabei überstrichen?

gegeben: Durchmesser d = 7,0 m
Stundenzeiger wandert von 12 Uhr auf 5 Uhr
gesucht: überstrichene Fläche

Lösung:
• Kreisfläche gesamt ausrechnen über die Formel A = π · r2

• dazu Radius bestimmen
r = d : 2
r = 7 m : 2
r = 3,5 m

• Radius in Flächenformel einsetzen und Kreisfläche bestimmen:
A = π · r2
A = π · (3,5m)2
A = π · 12,25 m2
A ≈ 38,485 m2

• Prozentualen Anteil der überstrichenen Fläche ermitteln:
- 12 Uhr bis 5 Uhr = 5 Stunden
- Kreis der Uhr = 12 Stunden
- Anteil bilden: ≈ 0,416667 ≈ 41,67 %

• Anteil auf Kreisfläche anwenden und überstrichene Kreisfläche berechnen:
41,67 % von 38,485 m²
A2 = 41,67 % · 38,485 m²
A2 ≈ 16,037 m²

Antwort: Die von 12 Uhr bis 5 Uhr überstrichene Kreisfläche beträgt ca. 16,037 m².

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