AB: Lektion Kubische Gleichungen (Teil 1)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Thema "Kubische Gleichungen", mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Allgemeine Fragen zu den kubischen Gleichungen

a)

Wieviele Lösungen kann eine kubische Gleichung im Reellen maximal haben? Wieviele Lösungen hat sie mindestens?

Eine kubische Gleichung hat mindestens eine und maximal drei Lösungen.

b)

Wie kann man ein Polynom 3. Grades der Form a·x3 + b·x2 + c·x + d mit den Nullstellen x1, x2, x3 in anderer Form darstellen? Wie sieht diese Form aus?

Man kann das Polynom auch in Linearfaktoren zerlegen. Die Zerlegung sieht wie folgt aus: a·x3 + b·x2 + c·x + d = (x - x1) · (x - x2) · (x - x3)

c)

Was erreicht man durch Anwenden der Polynomdivision mit einem Linearfaktor bei einer kubischen Gleichung?

Dividiert man eine kubische Gleichung durch einen Linearfaktor, so verringert man den Grad des Polynoms. Man hat so nur noch ein Polynom 2. Grades, das sich einfacher lösen lässt.

d)

Was macht man, wenn man eine kubische Gleichung lösen soll, aber gar keine Lösung vorgegeben ist?

Man muss eine Lösung erraten. Hier probiert man, ob ganze Werte um den Wert 0 herum die Gleichung lösen (zum Beispiel -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3).

e)

Eine kubische Gleichung hat kein absolutes Glied. Was kann man daraus direkt schließen?

Man kann direkt eine Lösung bestimmen: x1 = 0.

2.

Führe für jede Aufgabe die Polynomdivision aus.

a)

(x2 + 3·x - 18) : (x - 6)

$$ (x^2 + 3·x - 18) : (x + 6) = x - 3 \\ \underline{ -(x^2 + 6·x) } \\ = \quad \, -3·x - 18 \\ \underline{ - \;\;\; (-3·x - 18) } \\ = \qquad \qquad \quad 0 $$

b)

(x2 - 49) : (x - 7)

$$ (x^2 - 49) : (x + 7) = x - 7 \\ \underline{ -(x^2 + 7·x) } \\ = \quad \, -7·x - 49 \\ \underline{ - \quad (-7·x - 49) } \\ = \qquad \qquad \quad \; 0 $$

c)

(x3 + 7·x2 + 14·x + 8) : (x+1)

$$ (x^3 + 7·x^2 + 14·x + 8) : (x+1) = x^2 + 6·x + 8 \\ \underline{ -(x^3 + 1·x^2) } \\ = \quad \, 6·x^2 + 14·x + 8 \\ \underline{ - \quad (6·x^2 + 6·x) } \\ = \qquad \qquad \; \, 8·x + 8 \\ \underline{ - \qquad \qquad \; \, (8·x + 8) } \\ = \qquad \qquad \qquad \qquad 0 $$

d)

(x3 + 9·x2 - 9·x - 81) : (x-3)

$$ (x^3 + 9·x^2 - 9·x - 81) : (x-3) = x^2 + 12·x + 27 \\ \underline{ -(x^3 - 3·x^2) } \\ = \quad \, 12·x^2 - 9·x - 81 \\ \underline{ - \quad (12·x^2 - 36·x) } \\ = \qquad \qquad \; \, 27·x - 81 \\ \underline{ - \qquad \qquad \; \, (27·x - 81) } \\ = \qquad \qquad \qquad \qquad \; 0 $$

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