AB: Lektion Gaußverfahren III

1.

Versuche das LGS mit Hilfe des Gauß-Verfahrens zu lösen. Tipp: Verwende die erweiterte Koeffizientenmatrix, um dir Schreibarbeit zu sparen.

In den Lösungen wird das LGS nicht als erweiterte Koeffizientenmatrix dargestellt. Die Lösungen des LGS sind trotzdem die selben. Die jeweilige Rechenoperationen stehen neben den Gleichungen.

a)

(I.) 0·x + 3·y + 4·z = 26
(II.) 0·x + 0·y + 5·z = 25
(III.) 3·x + 7·y-2·z = 16

Wir sehen direkt, dass bereits einige Koeffizienten 0 sind. Wir vertauschen unsere Gleichungen:

(III.) 3·x + 7·y-2·z = 16
(I.) 0·x + 3·y + 4·z = 26
(II.) 0·x + 0·y + 5·z =  25

Wir erkennen, dass unser LGS bereits die gewünschte Stufenform hat.

Wir lösen also von unten nach oben auf:

Aus II. folgt:
z = 5

Das setzen wir in I. ein und erhalten:

0·x + 3·y + 4·5 = 26
y = 2

Jetzt beide Variablen in III. einsetzen:

(III.) 3·x + 7·2-2·5 = 16

Daraus folgt:  x = 4

Als Lösung haben wir somit: L  = { (4|2|5) }

b)

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5
(III.) 10·x + 1·y + 8·z = 12

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5       | + (-1) · Gleichung I.
(III.) 10·x + 1·y + 8·z = 12        | + (-2) · Gleichung I.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x-3·y-4·z = 6       | + Gleichung II.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x-0·y-0·z = 8

Da in III. alle Koeffizienten gleich 0 sind, jedoch eine Konstante hinter dem Gleichheitszeichen steht, die ungleich 0 ist, folgt daraus, dass unser LGS keine Lösung besitzt. Wir erhalten als Lösungsmenge eine leere Menge:

L = { ( ) }

c)

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5
(III.) 10·x + 10·y + 20·z = 10

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5
(III.) 10·x + 10·y + 20·z = 10

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5           |  +  (-1) · I.
(III.) 10·x + 10·y + 20·z = 10   |  +  (-2) · I.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x + 6·y + 8·z = 4    | + (-2) · II.  

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x + 0·y + 0·z = 0

Aus III. folgt nun, dass unser LGS unendlich viele Lösungen hat. Bestimmen wir nun die Form der Lösungen:

Wir setzen z = z, wir belassen also die Variable und suchen die Lösung in Abhängigkeit von z.

Aus II. folgt:
0·x + 3·y + 4·z = 2
3·y = 2 - 4·z
y = \( \frac{2}{3} - \frac{4}{3}·z \)

Setzen wir y nun in I. ein erhalten wir:

5·x + 2·(\( \frac{2}{3} \) - \( \frac{4}{3} \)·z)  + 6·z = 3
5·x + (\( \frac{4}{3} \) - \( \frac{8}{3} \)·z + 6·z = 3
5·x + \( \frac{10}{3} \)·z = \( \frac{5}{3} \)
5·x = \( \frac{5}{3} \) - \( \frac{10}{3} \)·z
x = \( \frac{5}{15} \) - \( \frac{10}{15} \)·z
x = \( \frac{1}{3} \) - \( \frac{2}{3} \)·z

Als Lösung erhalten wir \( L = \{ ( (\frac{1}{3} - \frac{2}{3}·z) | (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}·z) | z ) \} \)

d)

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 6·x + 5·y + 9·z = 94
(III.) -1·x + (7/2) ·y + (25/2) ·z = -2

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 6·x + 5·y + 9·z = 94   | + (-3) ·I. 
(III.) -1·x + (7/2) ·y + (25/2) ·z = 13   | + (1/2) ·I.    

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + (8/2) ·y + (16/2) ·z = 13

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + 4·y + 13·z = 13     | + (-2) ·II.

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + 0·y + 1·z = 5   

Aus III. folgt: z = 5

Setzen wir das in II. ein so erhalten wir: y = -13

Setzen wir z und y in I. ein dann bekommen wir x: x = 19

Unsere Lösung ist somit L = { ( 19 | -13 | 5 ) }

e)

(I.) -4·x–4·y–2·z = -3
(II.) -1·x + 4·y + 6·z = -8
(III.) -4·x–1·y + 4·z = 0

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) -1·x + 4·y + 6·z = -8   |+( -1/4  ) · I.
(III.) -4·x – 1·y + 4·z = 0   |+(-1) · I.

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) 0·x + 5·y + 5,5·z = -35/4     
(III.) 0·x+ 3·y + 6·z = 3   | + (-5/3) · II.

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) 0·x + 5·y +5,5·z = -35/4     
(III.) 0·x+ 0·y +2,1·z = 147/20     

Nun lösen wir das LGS von unten nach oben:

Aus III. folgt:

2,1·z = 147/20   |:2,1
z = 3,5

Das setzen wir in II. ein:

5·y +5,5·3,5 = -35/4 
y = -6

Setzen wir in I. ein:

-4·x – 4·(-6) – 2·3,5 = -3  
x = 5

Als Lösung erhalten wir: L =  { ( 5 |-6 |3,5 ) }

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