AB: Lektion Schnittpunkt von linearen Graphen (Teil 3)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Schnittpunkten linearer Graphen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Textaufgaben zum Thema Schnittpunkte linearer Graphen

Bei Textaufgaben muss meist aus dem Text die Funktionsgleichung aufgestellt werden, bevor man sich an die Lagebestimmung heranwagen kann. Meist ist hier der Schnittpunkt von besonderer Bedeutung.

a)

Eine Schulklasse plant einen dreitägigen Ausflug mit dem Bus nach Berlin. Es liegen 2 Angebote vom Busunternehmen vor:
Angebot A: Grundpreis pro Tag 50 € und 2,50 € je gefahrenen Kilometer
Angebot B: Grundpreis pro Tag 100 € und 2,25 € je gefahrenen Kilometer
1. Stelle die zugehörigen Funktionsgleichungen für drei Tage auf.
2. Der Lehrer hat die Gesamtstrecke zu 620 km ausgerechnet. Welches Angebot sollte er nehmen?

1. Der Grundpreis für drei Tage errechnet sich aus der Multiplikation des Grundpreises pro Tag mit 3. Der Preis pro gefahrenen Kilometer ist offensichtlich abhängig von der gefahrenen Strecke.

Damit lassen sich nun Funktionsgleichungen aufstellen, wobei die Funktionswerte von A(x) und B(x) jeweils den Betrag in Euro angeben und x die Anzahl der gefahrenen Kilometer darstellt:

A: A(x) = 2,5·x + 3·50

A(x) = 2,5·x + 150

B: B(x) = 2,25·x + 3·100

B(x) = 2,25·x + 300

2. Man kann hier nun auf zweierlei Weise herangehen. Zum einen kann man schlicht die Kosten der beiden Angebote errechnen, wenn 620 km zurückgelegt werden und direkt vergleichen, oder den Schnittpunkt bestimmen, ab wann denn das zweite Angebot billiger ist als das erste. (Dass das Angebot A zu Beginn billiger ist, ist klar, da der Tagessatz geringer ist. Irgendwann wird aber Angebot B billiger werden, nämlich dann, wenn man viel fährt.) Das hat den Vorteil, dass für zukünftige Rechnungen nur zu wissen ist, bei wie vielen Kilometern die beiden Angebote gleich teuer sind, denn der Schnittpunkt besagt ja nichts anderes als: Bei diesen Kilometern ist das Angebot A und das Angebot B gleich teuer.

Für die Schnittpunktbestimmung werden beide Funktionsgleichungen gleichgesetzt:

2,5·x + 150 = 2,25·x + 300   | -2,25·x -150

0,25·x = 150   | :0,25

x = 600

Für x = 600, also für 600 km, sind beiden Angebote identisch. Da nun mehr als 600 km zurückgelegt werden sollen, ist Angebot B zu wählen. Der zu zahlende Preis berechnet sich mit B(620) = 2,25·620 + 300 = 1695, also 1695 Euro.

b)

Frau Holle fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 100 km/h von A nach B. Herr Wolf folgt ihr eine Stunde später mit 120 km/h. Wann holt Herr Wolf Frau Holle ein?

Es gibt mehrere Möglichkeiten, an eine solche Aufgabe heranzugehen. Was in jedem Falle getan werden muss, ist das Aufstellen zweier Funktionsgleichungen. Doch hier beginnen bereits die Unterschiede mit der Wahl des zeitlichen Startpunktes. Hier sei er mit dem Start von Herrn Wolf gesetzt. Es muss also berücksichtigt werden, dass Frau Holle zu diesem Zeitpunkt bereits einen gewissen Weg zurückgelegt hat. Die Funktionswerte von H(x) und W(x) sollen die zurückgelegte Strecke darstellen. x sei die Zeit (diese wird oft auch mit t angegeben):

H(x) = 100·x + 100

W(x) = 120·x

Die +100, die bei Frau Holle zu sehen sind, sind die Strecke, die vor dem Start des gewählten Zeitpunktes bereits von ihr zurückgelegt wurde (der Vorsprung).

Nun sind die Funktionsgleichungen gleichzusetzen, denn beim Schnittpunkt hat Herr Wolf die Frau Holle eingeholt:

100·x + 100 = 120·x   | -100·x

20·x = 100   | :20

x = 5

Nach 5 Stunden ist es also soweit, Herr Wolf hat Frau Holle eingeholt. Das bedeutet auch, dass Frau Holle zu dieser Zeit schon insgesamt 6 Stunden unterwegs war. Die zurückgelegte Strecke ist W(5) = 120 · 5 = 600, also 600 km.

c)

Schneewittchen schaut sich nach einem neuen Handyvertrag um.
Anbieter A: 0,05 € pro Minute und eine Grundgebühr von 20 € je Monat
Anbieter B: 0,07 € pro Minute aber keine Grundgebühr
Da Schneewittchen sieben Zwerge ihre Freunde nennt, telefoniert sie mit jedem von ihnen 100 Minuten im Monat. Sonst telefoniert sie nicht. Welches Angebot sollte sie nehmen?

Hier sind wieder Funktionsgleichungen aufzustellen. Es sei x die Anzahl der Minuten und A(x) sowie B(x) geben den zu zahlende Betrag an:

A(x) = 0,05·x + 20

B(x) = 0,07·x

Das Gleichsetzen ergibt:

A(x) = B(x)

0,05·x + 20 = 0,07·x   | -0,05x

0,02·x = 20   | :0,02

x = 1000

Schneewittchen hat sieben Freunde, mit denen sie je 100 Minuten telefoniert, also insgesamt 700 Minuten. Das sind weniger als 1000 Minuten, sie kann sich also guten Gewissens an den Vertrag B halten, der zwar pro Minute etwas teurer ist, aber dafür keine Grundgebühr verlangt. Sie zahlt B(700) = 0,07·700 = 49, also 49 Euro.

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