Schnittpunkte von Geraden (Einführung)

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Eine Gerade ist eine gerade Linie, die wir ins Koordinatensystem zeichnen. Sie wird durch eine Funktionsgleichung wie zum Beispiel f(x) = 2·x beschrieben.

Zwei Geraden (Funktionsgraphen) können sich in einem, keinem oder mehreren Punkten schneiden. Im Folgenden betrachten wir dies.

Wie bereits bekannt ist, ist die Normalform einer linearen Funktion anzugeben als:

f(x) = m·x + n

Wenn man nun zwei lineare Funktionen hat, kann man die gegenseitige Lage zueinander untersuchen. Es ergeben sich drei Fälle:

  1. Genau einen Schnittpunkt
  2. Keinen Schnittpunkt
  3. Unendlich viele Schnittpunkte

Schauen wir uns die Fälle genauer an.

Lösungsmöglichkeiten

Hat man zwei lineare Graphen und ist an ihrer Lage zueinander interessiert, so müssen die Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden. Gleichsetzen heißt, ihr müsst sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben: f(x) = g(x). Löst man die sich daraus ergebende Gleichung, können mehrere Fälle auftreten:

1. Es kommt genau eine Lösung heraus. → Wir haben genau einen Schnittpunkt.

2. Die Gleichung ist unwahr. Keine Lösung. → Wir haben keinen Schnittpunkt. Man spricht von parallel.

3. Die Gleichung ist immer wahr. Unendlich viele Lösungen. → Die Geraden sind identisch.

Im Folgenden ein paar Beispiele um alle Fälle durchzusprechen:

Veranschaulichung am Graphen

In der folgenden Abbildung sind alle Lösungen mit Beispielen von Funktionsgraphen zu sehen.

Schnittpunkt linearer Graphen

g(x) = 7·x + 2 und h(x) = 2·x + 1 haben einen Schnittpunkt
f(x) = 2·x + 4 und h(x) = 2·x + 1 haben keinen Schnittpunkt
f(x) = 2·x + 4 und k(x) = 2·x + 4 haben unendlich viele Schnittpunkte.

Schauen wir uns an, wie man solche Schnittpunkte rechnerisch bestimmen kann.

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