Schnittpunkte von Geraden berechnen (Gleichsetzen)
Um den Schnittpunkt zweier Graphen zu berechnen, müssen wir deren Gleichungen gleichsetzen. Das heißt, wir müssen sie in Form einer Gleichung nebeneinander schreiben:
f(x) = g(x)
Dann setzen wir die gegebenen Gleichungen ein auf jeder Seite ein und berechnen den Wert für x.
Als Beispiel sei gegeben:
f(x) = 3·x + 4
g(x) = 1·x - 2
Wir schreiben demnach:
f(x) = g(x)
3·x + 4 = 1·x - 2
Danach formen wir die Gleichungen um (siehe Gleichungen umformen), sodass wir den x-Wert für unseren Schnittpunkt erhalten:
3·x + 4 = 1·x - 2
2·x + 4 = -2
2·x = -6
x = -3
Anschließend erhalten wir den y-Wert für den Schnittpunkt, indem wir den errechneten x-Wert (x = -3) in die Gleichung für f oder g einsetzen und ausrechnen:
f(x) = 3·x + 4
f(-3) = 3·(-3) + 4
f(-3) = -9 + 4
f(-3) = -5
Oder alternativ für die Funktionsgleichung von g:
g(x) = 1·x - 2
g(-3) = 1·(-3) - 2
g(-3) = -3 - 2
g(-3) = -5
Wie wir sehen, kommt für beide Gleichungen ein y-Wert von y = -5 heraus.
Der Schnittpunkt ist also: S(-3|-5)
Wichtig: Stellen wir zwei Funktionsgleichungen gegenüber und erhalten keinen Wert für x, dann gibt es zwei Möglichkeiten hierüfr:
1. Variante: Beide Geraden liegen aufeinander
Ihre Gleichungen führen für jedes x zum selben Ergebnis für y.
Beim Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) bleibt kein x übrig.
Die Ergebnisse auf beiden Seiten der Gleichung sind gleich. Beispielsweise 3 = 3.
Siehe Schnittpunkte von Geraden: Unendlich viele Lösungen
2. Variante: Beide Geraden sind parallel zueinander
Wir haben nach dem Umformen der Gleichung aus f(x) = g(x) kein x mehr,
sondern nur zwei Werte, die sich voneinander unterscheiden. Also zum Beispiel 4 = 1.
Es bleibt bei beiden Gleichungen kein x übrig, da die Steigungen bei beiden Gleichungen gleich sind und sich somit beim Umstellen „wegsubtrahieren“.