Gleichungen umformen (Äquivalenzumformungen)

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Gleichungen umformen (Einführung)

Nehmen wir uns eine einfache Gleichung:

3 + 2 = 5

Schreiben wir die 2 als x so erhalten wir:

3 + x = 5

Wir haben die Zahl 2 nun in unserer Gleichung versteckt und zwar mit Hilfe von x. Gehen wir davon aus, dass wir nicht wissen, für welche Zahl das x steht. Einen Buchstaben in einer Gleichung, der für eine unbekannte Zahl steht, nennt man Variable. Eine Variable steht für einen beliebigen Wert. x ist also eine Variable oder auch Unbekannte genannt.

Sehr häufig werden uns Gleichungen mit Variablen begegnen, bei denen wir bestimmen sollen, für welche Werte der Variablen unsere Gleichung wahr ist. Versuchen wir zu bestimmen, für welche Werte für x unsere Gleichung wahr ist.

3 + x = 5

Schreiben wir die 5 auf der rechten Seite als 3 + 2.

3 + x = 3 + 2

Wir können uns bei Gleichungen, die wahr sind, vorstellen, dass wir eine Waage haben, bei der auf beiden Seiten das selbe Gewicht liegt. Beide Seiten sind also im Gleichstand und auf der selben Höhe. Legen wir etwas mehr Gewicht auf eine Seite, so schwankt die Waage. Wir können aber auf beiden Seiten der Waage das Gewicht um den selben Wert erhöhen oder vermindern und unsere Waage bleibt trotzdem im Gleichstand. Genauso können wir das Gewicht auf beiden Seiten beliebig oft vervielfachen oder teilen. Unsere Waage würde nicht ausschwanken.

Das, was wir mit den Gewichten machen, nennt man bei Gleichungen "Äquivalenzumformungen". Solange wir beiden Seiten mit Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division gleich verändern, bleibt unsere Aussage der Gleichungen unverändert. Die Gleichung bleibt trotzdem wahr.

Betrachten wir uns das an einem anderem Beispiel:

10 = 10

Die Gleichung ist offensichtlich wahr. Wir führen jetzt verschiedene Rechenoperationen durch und werden sehen, dass unsere Aussage/Gleichung trotzdem wahr bleibt:

10 = 10 | + 3
13 = 13

10 = 10 | - 3
7 = 7

10 = 10 | : 2
5 = 5

10 = 10 | · 2
20 = 20

Auch wenn wir etwas schwierigere Gleichungen haben, die vielleicht sogar Variablen enthalten, kann man diese Umformungen durchführen, da auch für diese Gleichungen gilt, dass beide Seiten gleich sein müssen.

Zurück zu unserer Aufgabe:
3 + x = 3 + 2

Wir wollen nun, den Wert für x herausfinden. Da wir jetzt wissen, dass man Äquivalenzumformungen anwenden kann, versuchen wir die Gleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite nur noch die Variable x steht. Also x = Zahl.

Wir subtrahieren einfach von beiden Seiten den Wert 3, da dieser Wert uns auf der linken Seite der Gleichung stört:

3 + x = 3 + 2    | -3

3 + x - 3 = 3 + 2 - 3

Wir sehen jetzt direkt, dass auf beiden Seiten der Wert 3 wegfällt:

3 + x - 3 = 3 + 2 - 3
x + 3 - 3 = 2 + 3 - 3
x + 0 = 2 + 0
x = 2

An x = 2 lässt sich erkennen, dass wir für x die Zahl 2 einsetzen können und unsere Gleichung damit wahr sein wird.

Die 5 haben wir als 3 + 2 geschrieben, um das Ganze etwas anschaulicher zu machen. Wir können die selbe Äquivalenzumformung aber auch durchführen, wenn wir die 5 nicht zu 3 + 2 umgeformt hätten:

3 + x = 5    | -3
3 + x - 3 = 5 - 3
x + 3 - 3 = 2
x + 0 = 2
x = 2

Hat man eine Gleichung per Äquivalenzumformung umgeformt, so sagt man auch, dass die Gleichung vor der Umformung äquivalent zu der Gleichung nach der Umformung ist. Das schreibt man dann so auf:

3 + x = 5 ⇔ x = 2

3 + x = 5 ist äquivalent zu x = 2

An dieser Stelle sei erwähnt, dass eine Multiplikation mit 0 keine Äquivalenzumformung darstellt. Der Grund ist, dass aus einer falschen Aussage eine wahre werden kann. Ein Beispiel:

5 = 3    | ·0
5·0 = 3·0
0 = 0

Weiteres Beispiel: 2·x = 40

Merken wir uns:

Die Äquivalenzumformung ist eine Veränderung von beiden Seiten einer Gleichung mit derselben mathematischen Operation (z. B. plus, minus, mal, durch, … eine Zahl). Dabei verändern sich zwar die Terme auf beiden Seiten der Gleichung, der Wert für das darin enthaltene x jedoch nicht.

Beispiel mit:

2·x = 40
x = 20

2·x = 40
// verdoppeln wir beide Seiten mit ·2
4·x = 80
x = 20

x behält den Wert 20, sofern wir auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Operation durchführen.

Ursprungsgleichung und umgeformte Gleichung sind zueinander äquivalent („im Werte gleich)“.
Man schreibt: 2·x = 40 ⇔ 4·x = 80

Binomischen Formeln zum Lösen von Gleichungen

Das Distributivgesetz sowie die binomischen Formeln finden nicht nur Anwendung beim Kürzen von Termen, sondern werden auch beim Ermitteln von Lösungen bei Gleichungen eingesetzt. Ein typisches Beispiel für die Anwendung der binomischen Formeln ist bei der Nullstellenfindung:

$$x^2 + 2x + 1 = 0 \quad \text{ | Erkennen der ersten binomischen Formel }$$ $$(x+1)^2 = 0$$

Hier können nun direkt die Nullstellen abgelesen werden, denn ist die Klammer 0, dann ist auch der Term 0 und somit die linke Seite der Gleichung. Dies ist der Fall, wenn x1,2 = -1 ist.

Alternativ hätte man hier die pq-Formel (oder abc-Formel) bemühen müssen, was durch die Anwendung der binomischen Formel erspart werden konnte.

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