Termumformung mit Ausmultiplizieren

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Für das Ausmultiplizieren verwendet man das Distributivgesetz, es lautet:

$$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$$

Mit dem Distributivgesetz kann man also Klammern direkt auflösen. Nehmen wir dafür ein Beispiel:

$$3\cdot(5+2) = 3\cdot 5 + 3\cdot2 = 15 + 6 = 21$$

Wir haben also in die obige Formel eingesetzt: a = 3, b = 5 und c = 2 und dann mit dem Distributivgesetz ausgerechnet. Zur Kontrolle können wir in diesem Fall auch schnell den Klammerinhalt errechnen (5+2) und dann mit dem Vorfaktor (3) multiplizieren:

$$3\cdot(5+2) = 3\cdot7 = 21$$

Das Distributivgesetz wird besonders gerne bei Termen verwendet, wo verlangt ist, das Ergebnis als Summe aufzuschreiben. Eine Beispielaufgabe sei nachstehend gezeigt. Schreibe folgenden Term als Summe:

$$3\cdot(x+5) = \ldots$$ $$3\cdot(x+5) = 3\cdot x + 3\cdot5 = 3x + 15$$

und schon hat man die Summe mit den Summanden 3x und 15.

Das Distributivgesetz kann ebenfalls umgekehrt verwendet werden und auch deshalb ist es besonders wichtig. Wir erinnern uns, dass bei einem Bruch nur gekürzt werden darf, wenn dieselben Faktoren im Zähler und Nenner vorkommen. Wie können wir dann folgenden Bruch kürzen?

$$\frac{2+6}{1+3}$$

Wir kürzen diesen Bruch, indem wir das Distributivgesetz anwenden, also gemeinsame Faktoren in jedem Summanden erkennen, die ausgeklammert werden dürfen. Hierfür schreiben wir 6 = 2·3 und schon kann die 2 ausgeklammert werden. Beachte: 2 = 2·1

$$\frac{2+6}{1+3} = \frac{2\cdot1+2\cdot3}{1+3} = \frac{2\cdot(1+3)}{1\cdot(1+3)} = \frac21 = 2$$

Wie wir sehen, hat das Distributivgesetz den Zähler so umgeformt, dass nun ein Produkt entstanden ist aus 2 mal (1+3). Die (1+3) im Zähler und im Nenner haben wir miteinander gekürzt. Es ist dabei übrigens sinnvoll, im Nenner eine 1 in Multiplikation heranzuschreiben, wie oben geschehen. Mit etwas Erfahrung erkennt man übrigens solche Produkte (die aus Summen bestehen) schnell und kann entsprechende Faktoren in Zähler/Nenner gegeneinander kürzen.

Unser Ergebnis oben kann nochmals mathematisch im Werte auf Richtigkeit geprüft werden:

$$\frac{2+6}{1+3} = \frac84 = 2$$

Besonderen Einsatz findet das Distributivgesetz bei Termen mit Unbekannten, wo nicht so einfach zusammenaddiert werden kann, wie beim vorangegangenen Beispiel. Möglicherweise lautet eine Aufgabe:

Vereinfache folgenden Term weitmöglichst:

$$\frac{12x + 36x^2}{3+9x}$$

Um hier zu kürzen, wird wieder versucht gemeinsame Faktoren zu bilden. Dafür werden die Summanden auf gemeinsame Faktoren untersucht, um auszuklammern, also das Distributivgesetz anwenden zu können.

Zähler: 12x + 36x² = 3·4·x + 9·4·x·x = 1·3·4·x + 3·3·4·x·x = 3·4·x · (1 + 3·x)
Nenner: 3 + 9x = 3·1 + 3·3·x = 3 · (1 + 3·x)

Im Zähler beim ersten Term 12x = 1·3·4·x wurde noch eine 1 hinzugefügt, um diese nachher ausklammern zu können. Erinnern wir uns, dass man eine ·1 an jeden Term schreiben kann, denn sie ist das neutrale Element der Multiplikation (verändert den Wert des Terms also nicht). Im Nenner finden wir keine ·1 notiert, eine 1 muss aber nach dem vollständigen Kürzen dort stehen bleiben. Schreiben wir nun den faktorisierten Bruch auf:

$$ \frac{12x + 36x^2}{3+9x} = \frac{\color{red}{3\cdot4\cdot x}\cdot(1+3\cdot x)}{\color{red}{3}\cdot (1+3\cdot x)} = \frac{4\cdot x\cdot\color{blue}{3\cdot(1+3\cdot x)}}{\color{blue}{3\cdot (1+3\cdot x)}} = \frac{4\cdot x}{1} = 4\cdot x $$

So haben wir unseren ersten Bruch deutlich vereinfacht auf 4·x, der zuerst jedoch so aussah, als ob er sich nicht kürzen lässt, weil der Zähler eine Summe beinhaltete. Doch mittels des Distributivgesetzes haben wir aus der Summe ein Produkt gemacht und ein Kürzen wurde möglich.

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