abc-Formel (Mitternachtsformel)

Die abc-Formel, auch bekannt als "Mitternachtsformel", ist wohl die allgemeinste Form eine quadratische Gleichung zu lösen. Das einzige, was getan werden muss, ist die Gleichung in die allgemeine Form zu überführen. Liegt diese vor, so kann die abc-Formel verwendet werden, sie lautet:

$$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \quad|\text{abc-Formel}$$

Das heißt, man nimmt die Koeffizienten der Allgemeinform und setzt sie in obige Formel ein. Das berechnete Ergebnis ist die Lösung der quadratischen Gleichung. Ein Beispiel soll dies veranschaulichen, es sei zu lösen:

$$ 3·x^2+3·x = 18 $$

Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.

$$ 3·x^2+3·x-18 = 0 $$

Nun wird die obige Formel herangezogen und eingesetzt. Es ist a = 3, b = 3 und c = -18.

$$ x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \quad|a=3, b=3, c=-18 \\ x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4·3·(-18)}}{2·3} \\ x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{9+216}}{6} \\ x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{225}}{6} \\ x_{1,2} =\frac{-3\pm15}{6} $$

Nun das doppelte Vorzeichen berücksichtigen. Wir haben also zwei Lösungen, wobei bei jeder Lösung mit einem anderen Vorzeichen gerechnet wird.

$$x_1 = \frac{-3+15}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{-3-15}{6} = \frac{-18}{6} = -3$$

Schon haben wir die beiden Ergebnisse \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -3\).

Zur Erinnerung: Im Video Teil 4 haben wir die abc-Formel als Alternative zur pq-Formel kennengelernt.

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