Zum Lösen von quadratischen Gleichungen, die auf die Normalform x² + px + q = 0 gebracht worden sind, können wir die sogenannte „p-q-Formel“ benutzen.
Wie sich die Formel ergibt, zeigen wir im Folgenden:
1. Schritt: Wir notieren die Normalform einer quadratischen Gleichung:
\( x^2 + \it{p}·x + \it{q} = 0 \)
2. Schritt: Wir bringen das q auf die rechte Seite der Gleichung:
\( x^2 + p·x + q = 0 \quad | -q \\ x^2 + p·x = -q \)
3. Schritt: Wir addieren \( + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \) auf beide Seiten der Gleichung, damit wir die Umformung im nächsten Schritt machen können:
\( x^2 + p·x = -q \quad \quad | \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ x^2 + p·x \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } = -q \textcolor{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
4. Schritt: Der Linksterm entspricht nun der Form der ersten binomischen Formel. Wir wandeln den Term in die Klammerschreibweise um:
\( \underbrace{ x^2 + p·x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 }_{ \left( \textcolor{#00F}{ x + \frac{p}{2} } \right)^2 } = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)
Damit also:
\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)
5. Schritt: Wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:
\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \qquad | \sqrt{ \phantom{x} } \\ \\ \sqrt{ \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 } = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
Dabei müssen wir beachten, dass sich beim Wurzelziehen zwei Möglichkeiten ergeben (der positive und der negative Wert, siehe hierzu Ambiguität der Wurzel). Folglich erhalten wir zwei Lösungen x1 und x2 und setzen ein Plusminus ± vor die Wurzel:
\( | x + \frac{p}{2} | = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ \\ x_{1,2} + \frac{p}{2} = \textcolor{#00F}{ \pm } \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)
6. Schritt: Wir bringen das \( \frac{p}{2} \) mittels Subtraktion auf die rechte Seite der Gleichung:
\( x_{1,2} + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \quad \quad | \textcolor{#00F}{ - \frac{p}{2} } \\ \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \)
7. Schritt: Zur besseren Lesbarkeit setzen wir das \( - \frac{p}{2} \) nach vorne und das -q innerhalb der Wurzel ans Ende:
\( x_{1,2} = \pm \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \\ x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
Fertig. Hiermit haben wir die p-q-Formel hergeleitet.
Schreiben wir die Formel noch nach x1 und x2 aus:
\( x_{1} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
\( x_{2} = - \frac{p}{2} - \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
Die p-q-Formel lautet: \( x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)
Der Name „p-q-Formel“ entspringt übrigens der Bezeichnung der Koeffizienten.
Die Anwendung der p-q-Formel haben wir in diesem Artikel gezeigt.