Herleitung der p-q-Formel

Zum Lösen von quadratischen Gleichungen, die auf die Normalform x² + px + q = 0 gebracht worden sind, können wir die pq-Formel benutzen. Sie sei im Folgenden hergeleitet:

1. Schritt: Wir notieren die Normalform einer quadratischen Gleichung:

\( x^2 + p·x + q = 0 \)

2. Schritt: Wir bringen das q auf die rechte Seite der Gleichung:

\( x^2 + p·x + q = 0 \quad | -q \\ x^2 + p·x = -q \)

3. Schritt: Wir addieren \( + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \) auf beide Seiten der Gleichung:

\( x^2 + p·x = -q \quad | \color{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ x^2 + p·x \color{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } = -q \color{#00F}{ + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)

4. Schritt: Der Linksterm entspricht nun der Form der ersten binomischen Formel. Wir wandeln den Term in Klammerschreibweise um:

\( \underbrace{ x^2 + p·x + \left( \frac{p}{2} \right)^2 }_{ \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 } = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)

Damit also:

\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \)

5. Schritt: Wir ziehen die Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung:

\( \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 = -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 \qquad | \sqrt{ \phantom{x} } \\ \sqrt{ \left( x + \frac{p}{2} \right)^2 } = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)

Dabei müssen wir beachten, dass das Ergebnis positiv oder negativ sein kann (Ambiguität der Wurzel). Folglich erhalten wir zwei Ergebnisse x1 und x2:

\( | x + \frac{p}{2} | = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \\ x_{1,2} + \frac{p}{2} = \pm \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \)

6. Schritt: Wir bringen das \( \frac{p}{2} \) mittels Subtraktion auf die rechte Seite der Gleichung:

\( x_{1,2} + \frac{p}{2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } \quad | - \frac{p}{2} \\ x_{1,2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \)

7. Schritt: Zur besseren Lesbarkeit schreiben wir das \( - \frac{p}{2} \) noch nach vorne und das -q innerhalb der Wurzel ans Ende:

\( x_{1,2} = \sqrt{ -q + \left( \frac{p}{2} \right)^2 } - \frac{p}{2} \\ x_{1,2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)

Fertig. Hiermit haben wir die pq-Formel hergeleitet.

Die p-q-Formel: lautet: \( x_{1,2} = - \frac{p}{2} + \sqrt{ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q } \)

Der Name „p-q-Formel“ entspringt der Bezeichnung der Koeffizienten.