Ambiguität beim Wurzelziehen bei Gleichungen
Vorab: Der Begriff „Ambiguität“ kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „Mehrdeutigkeit“.
Ziehen wir die Wurzel, um die Lösung einer Gleichung zu berechnen, erhalten wir eine Lösung, es gibt jedoch noch eine zweite Lösung, die man berücksichtigen muss. Dies ist mit „Mehrdeutigkeit“ gemeint.
Um zu verstehen, wie es dazu kommen kann, betrachten wir uns folgende Gleichung:
(-5)2 = 25
Wir setzen -5 = x und „verstecken“ damit die -5, sodass sich eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten ergibt:
x2 = 25
Wenn wir diese Gleichung nun auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten.
Da die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir für \( \sqrt{25} = 5 \) und könnten schreiben:
\( x^2 = 25 \quad \quad | \sqrt{ \quad } \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{25} \\ x = 5 \)
⚠️ Aber Achtung: Der ursprüngliche Wert für x war -5 und nicht 5 (siehe oben).
Die positive 5 ist zwar Lösung der quadratischen Gleichung x2 = 25, es gehört aber offensichtlich noch eine zweite Lösung mit -5 dazu.
Deshalb müssen wir bei solchen Gleichungen auch eine zweite Lösung berücksichtigen.
Für die Lösung haben wir also zwei mögliche Werte. Um anzuzeigen, dass es eine positive und eine negative Lösung gibt, wird in der Schule meist ein ± (Plusminus) vor die Wurzel gesetzt. Zudem wird ein Index \( x_{1,2} \) verwendet.
\( x^2 = 25 \quad \quad \quad | \pm \sqrt{ \quad } \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{25} \\ x_{1,2} = \pm 5 \\ x_{1} = 5 \\ x_{2} = -5 \)
Dies meint die Ambiguität (Mehrdeutigkeit). Das Ergebnis ist positiv und negativ zu berücksichtigen.
Wie wir sehen, hat sich oben beim „Zurückrechnen“ von x2 = 25 eine positive 5 ergeben. Jedoch ist auch die -5 eine gültige Lösung für die Gleichung.
Korrekte Schreibweise beim Wurzelziehen bei Gleichungen
Zur Erinnerung: Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist immer positiv, jedoch nie negativ. Als Beispiel: \( \sqrt{9} = +3 \), jedoch \( \sqrt{9} \neq -3 \).
Eine Unterscheidung tritt nur beim Wurzelziehen bei quadratischen Gleichungen auf.
Um diesen Sachverhalt darzustellen und es mathematisch korrekt zu notieren, verwendet man den Betrag wie folgt:
\( x^2 = 9 \) | \( \sqrt{ \quad } \) Wurzel ziehen
\( \sqrt{x^2} = |x| \) | Betrag verwenden, um positiven und negativen Wert zu berücksichtigen
\( |x| = 3 \) | für x kann +3 oder -3 eingesetzt werden
\( x_1 = +3 \)
\( x_2 = -3 \)
Das heißt, bei |x| = 3 muss man sich überlegen, welche Zahl für x eingesetzt werden kann – und dies sind 3 und -3.
Da der Betrag jede negative Zahl in ihren positiven Wert überführt, gehört die -3 als Lösung dazu.
|x| = 3|+3| = 3
|-3| = 3
Aufgrund der Mehrdeutigkeit wird das Umformen von Gleichungen durch Quadrieren und Wurzelziehen daher auch nicht als Äquivalenzumformung angesehen. Denn bei Äquivalenzumformungen ändert sich der Wert der Unbekannten nicht.