Ambiguität der Wurzel (Zweideutigkeit)
Warum ist es überhaupt möglich, dass wir eine Scheinlösung beim Lösen einer Wurzelgleichung erhalten können? Bzw. zwei Lösungen für x?
Betrachten wir dazu folgende Gleichung:
-52 = 25
Wir setzen -5 = x und „verstecken“ damit die -5:
x2 = 25
Wenn wir das nun auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Da aber die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir:
x2 = 25 | √
x = 5
Das x war ursprünglich jedoch -5 und nicht +5. Deshalb müssen wir, wenn wir bei solchen Gleichungen die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, vor dem Ergebnis ein ± setzen, um das negative Ergebnis auch zu berücksichtigen.
Wir haben also die Lösung:
x2 = 25 | √
x = ±√25
x1 = 5 und x2 = -5
In diesen Fällen spricht man von der Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel.
Wir sehen also, dass wir beim Quadrieren immer ein positives Ergebnis erhalten. Wollen wir die Rechnung mit Hilfe der Wurzel rückgängig machen, so erhalten wir unter Umständen nicht den ursprünglichen Wert.
Es ist also notwendig, für jede Lösung die Probe durchzuführen, um falsche Lösungen auszuschließen.
Korrekte Schreibweise beim Wurzelziehen bei Gleichungen
Der Wert einer Wurzel ist immer positiv. √9 = +3, jedoch nie -3.
Eine Unterscheidung tritt nur bei Wurzelgleichungen auf.
Um diesen Sachverhalt klar zu machen, verwendet man für die mathematisch korrekte Schreibweise den Betrag:
x2 = 9 | √
|x| = +3
x1,2 = ±3
Bei |x| = 3 muss man sich überlegen, welche Zahl für x eingesetzt werden kann, und weiß: Das sind 3 und -3, da der Betrag jede negative Zahl in ihren positiven Wert überführt.