Ambiguität der Wurzel (Zweideutigkeit)

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Warum ist es überhaupt möglich, dass wir eine Scheinlösung erhalten können? Bzw. zwei Lösungen für x? Betrachten wir dazu folgende Gleichung:

$$ { (-5) }^{ 2 } = 25 $$

Wir setzen x = (-5) und verstecken damit unsere (-5):

$${ x }^{ 2 } = 25 $$

Wenn wir das nun erneut auflösen wollen, so ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten. Da aber die Wurzel einer positiven Zahl immer positiv ist, erhalten wir:

$${ x }^{ 2 } = 25 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ x = +5 $$

Unser x war ursprünglich jedoch (-5). Deshalb müssen wir, wenn wir bei solchen Gleichungen die Wurzel auf beiden Seiten ziehen, vor den Term ein ± setzen, um das negative Ergebnis auch zu berücksichtigen. Wir haben also die Lösung:

$$ { x }^{ 2 } = 25 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ x = \pm \sqrt {25} \\ x_1 = 5 \quad \text{und} \quad x_2 = -5 $$

In diesen Fällen spricht man von der Ambiguität (Zweideutigkeit) der Wurzel.

Wir sehen also, dass wir beim Quadrieren immer ein positives Ergebnis erhalten. Wollen wir die Rechnung mit Hilfe der Wurzel rückgängig machen, so erhalten wir unter Umständen nicht den ursprünglichen Wert.

Es ist also wichtig, jedes Mal die Probe durchzuführen, um falsche Werte auszuschließen.

Zusatzwissen zur Ambiguität

Der Wert einer Wurzel kann immer nur positiv sein. \( \sqrt{9} = +3 \), jedoch nie -3. Diese Unterscheidung tritt nur bei Wurzelgleichungen auf.

Für die korrekte Schreibweise, um diesen Sachverhalt klar zu machen, verwendet man den Betrag:

$$ x^2 = 9 \quad | \sqrt { \phantom{x} } \\ |x| = +3 \\ x_{1,2} = ±3 $$

Bei \( |x| = 3 \) muss man sich überlegen, welche Zahl für x eingesetzt werden kann, und weiß: Das sind 3 und -3, da der Betrag jede negative Zahl in ihren positiven Wert überführt.

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