Wurzelgleichung lösen: √(3x) = √(14+x)

Schauen wir uns jetzt diese Wurzelgleichung an:

$$\sqrt { 3·x } =\sqrt { 14\quad +\quad x }$$

Wir haben auf beiden Seiten eine Wurzel stehen. Lösen wir diese Gleichung auf, so quadrieren wir wieder beide Seiten und formen anschließend nach x um:

$$ \begin{align} &\sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } &\vert { () }^{ 2 } \\ &{ (\sqrt { 3·x } ) }^{ 2 } = { (\sqrt { 14+x } ) }^{ 2 } \\ &3·x = 14 + x &\vert -x \\ &2·x = 14 &\vert :2 \\ &x = 7 \end{align} $$

Machen wir auch hier die Probe, so erhalten wir:

$$ \sqrt{3·x} = \sqrt { 14+x } \quad\vert x=3 \\ \sqrt { 3·7 } = \sqrt { 14 + 7 } \\ \sqrt { 21 } = \sqrt { 21 } \\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

Auch hier können wir die Definitionsmenge bestimmen. Für unsere Definitionsmenge dürfen wir nun in beiden Wurzeln keine Probleme erhalten. Wir haben also auf der linken Seite der Gleichung die Definitionsmenge:
D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

Auf der rechten Seite der Gleichung haben wir die Definitionsmenge:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -14 }

Wir müssen aber eine Definitionsmenge für die gesamte Gleichung angeben. Diese finden wir, wenn wir uns anschauen, welche Werte für x in beiden Definitionsmengen liegen. Zum einen x ≥ 0 und zum anderen x ≥ -14. Unsere Definitionsmenge für die gesamte Gleichung ist somit:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ 0 }

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