Wurzelgleichungen: Scheinlösungen bei 1+x = √(4-x)

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Betrachten wir uns die Wurzelgleichung:

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } $$

Wir lösen diese Wurzelgleichung, wie bereits kennengelernt durch Quadrieren beider Seiten:

$$ 1+x = \sqrt { 4 - x } \qquad |{ () }^{ 2 }\\ { (1+x) }^{ 2 } = { (\sqrt { 4 - x } ) }^{ 2 } $$

Auf der linken Seite wenden wir nun die binomische Formel an:

$$ \\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 }= { 4 - x } $$

Wir bringen die rechte Seite auf die linke Seite und ändern anschließend die Reihenfolge der Summanden:

$$ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } = { 4 - x } \qquad |-(4-x)\\ 1 + 2·x + { x }^{ 2 } - 4 + x = 0\\ { x }^{ 2 } + 3·x - 3 = 0 $$

Jetzt sehen wir, dass wir die pq-Formel anwenden können mit p = 3 und q = -3.

$$ { x }_{ 1,2 } = -\frac { 3 }{ 2 } \pm \sqrt { ({ \frac { 3 }{ 2 } ) }^{ 2 } - (-3) } \\ { x }_{ 1,2 } = -\frac{ 3 }{ 2 } \pm \sqrt { 5,25 } $$

Wir nehmen jetzt den Taschenrechner zur Hilfe um die Wurzel zu berechnen und erhalten:

$$ { x }_{ 1 } \approx 0,791 \\ { x }_{ 2 } \approx -3,791 $$

Machen wir mit beiden eventuellen Lösungen jetzt die Probe (auch hier müssen wir den Taschenrechner benutzen):

$$ 1 + x = \sqrt { 4 - x } \qquad | x = 0,791 \\ 1 + 0,791 = \sqrt { 4 - 0,791 } \\ 1,791 = \sqrt { 3,209 } \\ 1,791 = 1,791 $$

\( x_1 = 0,791 \) ist also eine korrekte Lösung der Gleichung.

Anmerkung: Eigentlich hätten wir hier mit dem nicht gerundeten Wert rechnen müssen, also einsetzen von x1 = (-3/2 + √5,25), da die √3,209 nicht exakt 1,791 ergibt. Der Einfachheit halber haben wir oben jedoch den gerundeten Wert gewählt.

Jetzt fehlt noch die Probe mit der 2. Lösung \( x_2 = -3,791 \):

$$ 1 - 3,791 = \sqrt { 4 + 3,791 } \\ -2,791 = \sqrt { 7,791 } \\ -2,791 \neq 2,791 $$

Wir sehen, dass unsere zweite angebliche Lösung die Gleichung nicht löst.

Als Lösung haben wir also nur \( x_1 = 0,791 \).

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