Wurzelgleichung lösen: 3 = √(x+5)

Bevor wir die Wurzelgleichung 3 = √(x+5) lösen, nehmen wir zunächst einmal die Gleichung 3 = 3 und bauen uns aus dieser Gleichung eine Wurzelgleichung. Wir wissen, dass 3·3 = 9 ist und können deswegen auf Folgendes schließen:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } $$

Teilen wir jetzt die 9 auf in 9 = 4 + 5 und verstecken die 4, indem wir sie durch ein x ersetzen, so erhalten wir:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \\ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 }$$

Wir wissen, dass x = 4 die Gleichung löst. Gehen wir davon aus, dass wir die Lösung dieser Gleichung nicht kennen. Welche Werte könnte x überhaupt annehmen, ohne, dass es zu Problemen kommt. Wir wissen, dass unter der Wurzel (der Radikand) nichts Negatives stehen darf. Also schauen wir uns an, für welche x die Wurzel keinen negativen Ausdruck beinhaltet.

Wir sehen direkt, dass x alle reellen Zahlen annehmen kann, die größer gleich (-5) sind, ohne dass wir Probleme mit der Wurzel bekommen.

Was wir gerade bestimmt haben, nennt man Definitionsmenge. Unsere Aussage schreibt man wie folgt auf:

D = { x ϵ ℝ | x ≥ -5 }

Das heißt so viel wie: Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen unter der Bedingung, dass x größer gleich (-5) ist.

Möchten wir unsere Gleichung jetzt auflösen, so müssen wir die Gleichung nach x umformen. Uns stört hier jedoch die Wurzel. Wir beseitigen die Wurzel, indem wir beide Seiten quadrieren:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { x+5 } \quad |\quad { () }^{ 2 }\\ { 3 }^{ 2 }\quad =\quad { (\sqrt { x+5 } ) }^{ 2 }\\ 9\quad =\quad x\quad +5\quad $$

Wir können diese Gleichung nun wie bereits bekannt auflösen:

$$ 9\quad =\quad x\quad +5\quad |\quad -5\\ x\quad =\quad 4 $$

Wichtig ist jetzt, dass wir unsere Lösung überprüfen. Denn es kann sein, dass unsere Lösung nicht in der Definitionsmenge liegt. Somit wäre unsere vermeintliche Lösung gar keine echte Lösung der Gleichung. Also machen wir die Probe und setzen x = 4 ein:

$$ 3\quad =\quad \sqrt { 4+5 } \quad \\ 3\quad =\quad \sqrt { 9 } \\ 3\quad =\quad 3\\ $$

Unsere Lösung ist also wirklich eine Lösung.

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