Verschachtelte Wurzeln lösen: √(3x+3) = ⁴√(-9x)

Lösen wir diese Wurzelgleichung mit verschachtelter Wurzel:

\( \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \)

Hier müssen wir die vierte Wurzel auflösen. Also beide Seiten mit 4 potenzieren:

\( \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \quad |{ () }^{ 4 } \\ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = {(\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 } \)

Am Anfang hatten wir gezeigt, dass man die Wurzeln auch als Potenz darstellen kann. Nehmen wir uns diese Schreibweise als Hilfe:

\( { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = { (\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 }\\ { ({ (3·x+3) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 4 } = { -9·x }\\ { (3·x+3) }^{ \frac { 4 }{ 2 } } = -9·x\\ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \)

Auch hier können wir die binomische Formel anwenden und anschließend die p-q-Formel:

\( { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 18·x + 9 = -9·x \quad |+9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 27·x + 9 = 0 \quad |:9 \\ { x }^{ 2 } + 3·x + 1= 0 \)

Mit der p-q-Formel erhalten wir als mögliche Lösungen:

x1 ≈ -0,382
x2 ≈ -2,618

Mit der Probe stellen wir fest, dass nur x = -0,382 die Gleichung löst.