Verschachtelte Wurzeln lösen: √(3x+3) = ⁴√(-9x)

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Lösen wir diese Wurzelgleichung mit verschachtelter Wurzel:

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } $$

Hier müssen wir die vierte Wurzel auflösen. Also beide Seiten mit 4 potenzieren:

$$ \sqrt { 3·x + 3 } = \sqrt [ 4 ]{ -9·x } \quad |{ () }^{ 4 } \\ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = {(\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 } $$

Am Anfang hatten wir gezeigt, dass man die Wurzeln auch als Potenz darstellen kann. Nehmen wir uns diese Schreibweise als Hilfe:

$$ { (\sqrt { 3·x + 3 } ) }^{ 4 } = { (\sqrt [ 4 ]{ -9·x } ) }^{ 4 }\\ { ({ (3·x+3) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }) }^{ 4 } = { -9·x }\\ { (3·x+3) }^{ \frac { 4 }{ 2 } } = -9·x\\ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x $$

Auch hier können wir ganz normal die binomische Formel anwenden und anschließend die pq-Formel:

$$ { (3·x+3) }^{ 2 } = -9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 18·x + 9 = -9·x \quad |+9·x \\ 9·{ x }^{ 2 } + 27·x + 9 = 0 \quad |:9 \\ { x }^{ 2 } + 3·x + 1= 0 $$

Mit der pq-Formel erhalten wir als mögliche Lösungen:

$$ { x }_{ 1 } \approx -0,382\\ { x }_{ 2 } \approx -2,618 $$

Mit der Probe stellen wir fest, dass nur x = -0,382 die Gleichung löst.

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