Verschachtelte Wurzeln lösen: {³√a·√a}/{³√(a^½):³√a⁴}=49

Eine weitere Aufgabe mit Wurzelgleichung und verschachtelter Wurzel zeigt uns, dass es manchmal hilfreich ist, die Potenzschreibweise zu benutzen:

$$\frac { \sqrt [ 3 ]{ a } ·\sqrt { a } }{ \sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 1/2 } } :\sqrt [ 3 ]{ { a }^{ 4 } } } = 49 $$

Die Gleichung sieht sehr kompliziert aus. Benutzen wir jedoch die Potenzschreibweise und vereinfachen Schritt für Schritt, so erhalten wir:

$$ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } }·{ a }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1/2 }{ 3 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } }:{ a }^{ \frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 2 } } }{ { a }^{ \frac { 1 }{ 6 } -\frac { 4 }{ 3 } } } = 49\\ \frac { { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } } }{ { a }^{ -\frac { 7 }{ 6 } } } = 49\\ { a }^{ \frac { 5 }{ 6 } -(-\frac { 7 }{ 6 } ) } = 49\\ { a }^{ \frac { 12 }{ 6 } } = 49\\ { a }^{ 2 } = 49\\ { a }_{ 1 } = 7 \quad oder \quad { a }_{ 2 }= -7 $$

Wir haben gesehen, dass die Gleichung mit Hilfe der Potenzschreibweise durch reines Anwenden der Potenzgesetze zu lösen ist.

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