Quadratische Gleichungen - Einführung

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannten in der Gleichung höchstens in zweiter Potenz vorkommen („Gleichung zweiten Grades“). Das heißt, der größte Exponent aller Unbekannten ist 2.

Beispiel: 4·x2 + 3·x + 5 = 7

Die Allgemeinform einer quadratischen Gleichung ist:

a·x2 + b·x + c = 0   ← Allgemeinform

Oft erweist es sich als notwendig (für die Lösung mittels p-q-Formel beispielsweise) diese Allgemeinform in die sogenannte Normalform zu überführen.

Um die Normalform zu erzeugen, muss das x2 ohne Vorfaktor a sein. Hierzu müssen wir die gesamte Gleichung durch a dividieren:

a·x2 + b·x + c = 0   | :a
1·x2 + \( \frac{b}{a} \)·x + \( \frac{c}{a} \) = 0
x2 + \( \frac{b}{a} \)·x + \( \frac{c}{a} \) = 0

Weiterhin schreiben wir - damit es einfacher zu lesen ist - das \( \frac{b}{a} \) als p und \( \frac{c}{a} \) als q:

x2 + \( \frac{b}{a} \)·x + \( \frac{c}{a} \) = 0

x2 + p·x + q = 0   ← Normalform

Die Buchstaben a, b, c, p und q bezeichnen wir übrigens als „Koeffizienten“. Den Koeffizient a nennt man auch „Leitkoeffizient“, denn er bestimmt den Werteverlauf.

Ansonsten werden die Summanden nach ihrem Grad benannt. Der erste Summand ist das quadratische Glied (a·x2, der zweite Summand ist das lineare Glied (b·x) und der dritte Summand das Absolutglied (c, also der Koeffizient ohne x).

Wenn wir quadratische Gleichungen wie 8·x2 + 4·x - 12 = 0 lösen wollen, fragen wir nach dem x, das wir einsetzen können, damit die Gleichung stimmt. Für das Beispiel wären das zwei mögliche Werte: x1 = 1 und x2 = -1,5.

Probe für x1 = 1:

8·x2 + 4·x - 12 = 0   | x = 1
8·(12) + 4·1 - 12 = 0
8 + 4 - 12 = 0   ← Korrekt ✓

Probe für x2 = -1,5:

8·x2 + 4·x - 12 = 0   | x = -1,5
8·(-1,5)2 + 4·(-1,5) - 12 = 0
18 - 6 - 12 = 0   ← Korrekt ✓

In den folgenden Artikeln schauen wir uns Verfahren an, wie wir diese Lösungen ausrechnen können.