Herleitung der abc-Formel (Mitternachtsformel)

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Im Folgenden stellen wir die Herleitung der abc-Formel für quadratische Gleichungen in der Allgemeinform ax² + bx + c = 0 Schritt für Schritt dar:

\( \begin{align} a x^2 + b x + c &= 0 \qquad | -c \\ a x^2 + b x &= - c \qquad | :a \\ x^2 + \frac { b } { a } x &= - \frac { c } { a } \end{align} \)

Jetzt ergänzen wir auf beiden Seiten der Gleichung den Term \( \left( \frac { b } { 2 a } \right)^2 \), sodass wir auf der linken Seite eine binomische Formel vorzuliegen haben, die wir umformen können.

\( x^2 + \frac { b } { a } x + \left( \frac { b } { 2 a } \right)^2 = - \frac { c } { a } + \left( \frac { b } { 2 a } \right)^2 \)

Den Linksterm wandeln wir mit Hilfe der binomischen Formel in einen Klammerterm. Den Rechtsterm rechnen wir aus.

\( \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } - \frac { c·4a } { a·4a } \\ \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ 2 } - \frac { 4ac } { 4a^2 } \\ \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } - 4 a c } { 4 a ^ { 2 } } \)

Jetzt ziehen wir die Wurzel auf beiden Seiten:

\( \begin{align} x + \frac { b } { 2 a } &= \pm \sqrt{ \frac { b ^ { 2 } - 4 a c } { 4 a ^ { 2 } } } \\ x + \frac { b } { 2 a } &= \pm \frac { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } \qquad |-\frac{b}{2a} \end{align} \)

\( x_{1,2} = - \frac { b } { 2 a } \pm \frac { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } \)

Jetzt ziehen wir noch die Zähler auf den gemeinsamen Nenner und erhalten unsere fertige abc-Formel:

\( x_{1,2} = \frac { -b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } \)

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