Herleitung der abc-Formel (Mitternachtsformel)

Im Folgenden die Herleitung der abc-Formel für quadratische Gleichungen in der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0:

$$\begin{array} { l } { a x ^ { 2 } + b x + c = 0 } \\ { a x ^ { 2 } + b x = - c } \\ { x ^ { 2 } + \frac { b } { a } x = - \frac { c } { a } } \\ { x ^ { 2 } + \frac { b } { a } x + \left( \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } - \frac { c } { a } } \\ { \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } - \frac { 4 a c } { a } } \\ { \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } = \frac { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 4 a ^ { 2 } } } \\ { x + \frac { b } { 2 a } = \pm \frac { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } } \end{array}$$

$$x = - \frac { b } { 2 a } \pm \frac { \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a }$$

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