Quadratische Gleichungen lösen durch Wurzelziehen

Liegt die quadratische Gleichung in der Form a·x² - c = 0 vor, also ohne lineares Glied (reinquadratische Gleichungen), so kann zum Lösen das Wurzelziehen herangezogen werden.

Dafür wird das c auf die andere Seite gebracht, durch a dividiert und die Wurzel gezogen:

\( \begin{align} a·x^2 - c = 0 & \quad |+c \\ a·x^2 = c & \quad |:a \\ x^2 = \frac{c}{a} & \quad |\text{ Wurzel ziehen} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{ \frac{c}{a} } \end{align} \)

Es ist darauf zu achten, dass es beim Wurzel ziehen zwei Lösungen gibt (siehe Ambiguität der Wurzel). Es muss also ein Plus-Minus-Vorzeichen ± vor die Wurzel gesetzt werden.

Zur Erinnerung: Bei bspw. x2 = 4 haben wir nicht nur die offensichtliche Lösung x1 = 2, sondern auch die negative Lösung x2 = -2, denn beim Quadrieren wird das Minus aufgehoben.

Beispiel zur Lösung mittels Wurzelziehen

Hier eine Beispielrechnung, die die Schritte nochmals zeigt:

\( \begin{align} 4 · x^2 - 64 = 0 & \quad |+64 \\ 4 · x^2 = 64 & \quad |:4 \\ x^2 = 16 & \quad |\text{Wurzel ziehen} \\ \sqrt{x^2} = \sqrt{16} \\ x_{1,2} = \pm 4 \end{align} \)

Es ergeben sich also die Lösungen x1 = -4 und x2 = 4.