pq-Formel

In der Schule häufiger gelehrt als die abc-Formel wird die sogenannte pq-Formel. Hier ist es zwingend notwendig, dass der Vorfaktor von x² die 1 ist, also 1·x². Das heißt man muss eine quadratische Gleichung auf Normalform bringen, bevor man die pq-Formel anwenden darf. Die pq-Formel lautet:

$$x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$$

Nehmen wir wieder obiges Beispiel, daran kann die Anwendung der pq-Formel verdeutlich werden. Es sei zu lösen:

$$ 3·x^2+3·x = 18 $$

Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.

$$ 3·x^2+3·x-18 = 0 $$

Nun liegt die quadratische Gleichung noch nicht in Normalform vor. Es wird mit 3 dividiert um dies zu erreichen.

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Nun können p = 1 und q = -6 identifiziert werden und sie in die Formel einsetzen:

$$ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac12\right)^2 - (-6)} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac52 $$

Nun wird wiederum das doppelte Vorzeichen betrachtet:

$$ x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2 \\ x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3 $$

Das entspricht genau den obigem errechneten Ergebnis. Dies kann natürlich auch durch eine Probe verifiziert werden, also die x-Werte werden in die Ausgangsgleichung eingesetzt und überprüft ob man eine wahre Aussage erhält.

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