p-q-Formel

Die „p-q-Formel“ ist eine Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen. Um sie anwenden zu können, benötigen wir die Normalform der quadratischen Gleichung.

Normalform der quadratischen Gleichung:

\( x^2 + \color{#00F}{p}·x + \color{#F00}{q} = 0 \)

Die p-q-Formel zur Lösung:

$$ x_{1,2} = -\frac{ \color{#00F}{p} }{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{ \color{#00F}{p} }{2} \right)^2 - \color{#F00}{q} } $$

In der Schule wird die p-q-Formel häufiger gelehrt als die abc-Formel. Hier ist es zwingend notwendig, dass der Vorfaktor von die 1 ist, also 1·x². Das heißt man muss eine quadratische Gleichung auf Normalform bringen, bevor man die p-q-Formel anwenden kann.

Die p-q-Formel lautet:

$$ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} $$

Nehmen wir wieder obiges Beispiel, daran kann die Anwendung der p-q-Formel verdeutlich werden. Es sei zu lösen:

$$ 3·x^2+3·x = 18 $$

Der erste Schritt, den es zu tun gilt, ist die 18 auf die linke Seite zu führen. Dafür wird auf beiden Seiten mit 18 subtrahiert.

$$ 3·x^2+3·x-18 = 0 $$

Nun liegt die quadratische Gleichung noch nicht in Normalform vor. Es wird mit 3 dividiert um dies zu erreichen.

$$x^2 + x - 6 = 0$$

Nun können wir p = 1 und q = -6 erkennen und in die Formel einsetzen:

$$ x_{1,2} = -\frac p2 \pm \sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac12\right)^2 - (-6)} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + 6} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{24}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \\ x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac52 $$

Nun wird wiederum das doppelte Vorzeichen betrachtet:

$$ x_1 = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = 2 \\ x_2 = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3 $$

Das entspricht genau den obigem errechneten Ergebnis. Dies kann natürlich auch durch eine Probe verifiziert werden, also die x-Werte werden in die Ausgangsgleichung eingesetzt und überprüft ob man eine wahre Aussage erhält.

Schauen wir uns als nächstes die Herleitung der p-q-Formel an.