Lineare Funktionen in Normalform

Die Normalform einer linearen Funktion sieht so aus:

f(x) = m·x + n

Dabei entspricht das m der Steigung und das n steht für den y-Achsenabschnitt, es beschreibt also, in welcher Höhe die y-Achse geschnitten wird.

Für f(x) = 2·x + 4 wird die y-Achse in einer Höhe von 4 geschnitten und die Steigung beträgt 2.

Gerade 1

Steigung m

Die Steigung m gibt den Verlauf des Funktionsgraphen an. Wir unterscheiden folgende Fälle:

  1. Ist m positiv, so steigt der Graph stetig.
  2. Ist m negativ, so fällt der Graph stetig.
  3. Ist m = 0, dann haben wir eine sogenannte konstante Funktion. Die Gerade ist parallel zur x-Achse.

Zu sehen sind die Fälle auch an den drei folgenden Graphen.

Gerade 2

Die Steigung kann dabei als sogenanntes Steigungsdreieck betrachtet werden bzw. mit einem Steigungsdreieck berechnet werden.

Das heißt, wir zeichnen einen Abstand für x (von links nach rechts) und einen Abstand für y (von unten nach oben) ein und berechnen deren Verhältnis per Division.

Der Abstand für x ergibt sich aus einem x-Wert und einem folgenden x-Wert, wir schreiben Differenz Δx = x2 - x1.

Das Δx wird „Delta x“ genannt und meint einfach nur den Abstand zwischen zwei x-werten.

Die Steigung berechnet sich somit über: m = (y2-y1)(x2-x1) = Δy - Δx

Dies sei beispielhaft an unserer Funktion f(x) = 2·x+4 gezeigt:

Steigung Gerade

Hier gehen wir mit dem x-Wert um 1 Einheit nach rechts. Die Differenz (das Zeichen Δ steht für Differenz bzw. Abstand) aus x2-x1 ist also 1.

Rechnerisch festgehalten: Δx = x2 - x1 = 1 - 0 = 1.

Nun muss noch die Höhe abgelesen werden. Dazu müssen wir 2 Einheiten nach oben gehen. Die Differenz für y ist Δy = 2. Wir können sie berechnen über Δy = y2 - y1 = 6 - 4 = 2.

Das m ergibt sich dann mit m = Δy/Δx = 2/1 = 2.

y-Achsenabschnitt

Während m die Steigung angibt, gibt der y-Achsenabschnitt n die „Höhe“ der Geraden an, an welcher sie die y-Achse schneidet. Dadurch wird die Gerade also verschoben.

Gerade 3

Die drei Geraden haben die gleiche Steigung, sind aber nach oben bzw. unten verschoben. Man spricht hier von „parallelen Geraden“.

Spezialformen wie f(x)=x

Eine lineare Funktion hat die Normalform f(x) = m·x + n. Dies ist manchmal nicht sofort zu erkennen, wenn beispielsweise g(x) = x angegeben ist. Hier haben wir m = 1 und n = 0, also eine lineare Funktion in der Form g(x) = 1·x + 0 vorzuliegen, wobei die 0 und die 1 nicht hingeschrieben wurden.

Dies gilt ebenfalls für die bereits erwähnte konstante Funktion, die keine Steigung hat (also m = 0). Hier wird meist notiert: f(x) = n, als Normalform wäre dies: f(x) = 0·x + n. Der Graph einer konstanten Funktion ist parallel zur x-Achse.

Konstante Gerade

Merken wir uns außerdem: Geht der Graph durch den Koordinatenursprung, so ist n = 0 und aus:

f(x) = m·x + n    | n = 0
wird
f(x) = m·x + 0
f(x) = m·x

Oder: Haben wir zum Beispiel die Gleichung: f(x) = x, so wissen wir, dass sie sich ebenfalls in die Normalform bringen lässt: f(x) = 1·x + 0

Wir finden die Normalform auch bei Gleichungen, die keine Steigung haben. So lässt sich z. B. f(x) = 2 auch darstellen als f(x) = 0·x + 2.

Hier gibt es keine Steigung und wir erhalten eine Parallele zur x-Achse, die die y-Achse bei y = 2 schneidet. Solche Funktionen heißen konstante Funktionen.

Winkelhalbierende

Interessant ist noch, dass g(x) = x auch unter dem Namen „1. Winkelhalbierende“ bekannt ist, da sie im ersten Quadranten (also dort wo x und y positiv sind), den Winkel von 90° halbiert und mit 45° verläuft.

Neben der 1. Winkelhalbierenden gibt es noch die „2. Winkelhalbierende“, die von links oben nach rechts unten verläuft, sie hat die Funktionsgleichung h(x) = -x.

Winkelhalbierende