AB: Lektion Logarithmus (Teil 2)

In der Lektion „Logarithmus“ haben wir gelernt, was der Logarithmus ist und wie wir ihn anwenden können, um unbekannte Exponenten zu berechnen. Nachfolgend findet ihr verschiedene Aufgaben zum Thema. Wendet euer Wissen an und zeigt, dass ihr alles verstanden habt. Viel Erfolg!

Alle Aufgaben kann man ohne Taschenrechner lösen.

1.

Berechne die folgenden Logarithmus-Ausdrücke ohne Taschenrechner.

a)

log24 = 2   → denn 22 = 4

b)

log28 = 3   → denn 23 = 8

c)

log216 = 4   → denn 24 = 16

d)

log327 = 3   → denn 33 = 27

e)

log5125 = 3   → denn 53 = 125

f)

log101000 = 3   → denn 103 = 1000

g)

log10100.000 = 5   → denn 105 = 100.000

h)

log2(-16) = nicht definiert   → denn 2x kann nie einen negativen Wert annehmen

i)

log42 = 0,5   → denn 40,5 = \( 4^{\frac{1}{2}} \) = √4 = 2

j)

log82 = \( \frac{1}{3} \)   → denn \( 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} \) = 2

2.

Beantworte die allgemeinen Fragen zu den Logarithmen.

a)

Was berechnen wir mit dem Logarithmus?

Mit dem Logarithmus berechnen wir den Exponenten der Potenz.

b)

Erkläre kurz Basis, Numerus und Logarithmuswert.

Bei loga z = n ist a die Basis, z der Numerus und n der Logarithmuswert. Übertragen auf die Potenz: an = z

c)

Ergänze die Logarithmusregel: logax + logay = …

logax + logay = loga(x·y)

d)

Ergänze die Logarithmusregel: logax – logay = …

logax - logay = loga(x:y)
bzw. in Bruchschreibweise: logax - logay = loga( \( \frac{x}{y} \) )

e)

Ergänze die Logarithmusregel: logaxy = …

logaxy = y·logax

f)

Warum gilt: 3log39 = 9 ?

log39 = 2 und damit 3log39 = 32 = 9

g)

Kann man einen Logarithmus mit anderen Logarithmen ausdrücken? Wie lautet die Regel?

Ja, jeder Logarithmus kann über Logarithmen mit anderen Basen ausgedrückt werden. Die Regel besagt: \( \log_{\color{red}{a}}{x} = \frac{\log_{\color{blue}{b}}{x}}{\log_{\color{blue}{b}}{a}} \)

h)

Drücke log864 mit Hilfe des Logarithmus zur Basis 2 aus.

\( \log_{\color{red}{8}}{64} = \frac{\log_{\color{blue}{2}}{64}}{\log_{\color{blue}{2}}{8}} = \frac{6}{3} = 2 \\ \text{Probe: } \color{#F00}{8}^{2} = 64 \)

i)

Was ist der dekadische Logarithmus und welches Zeichen benutzt man für ihn?

Der dekadische Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10, also log10 x. Man kann kürzer schreiben: lg x für log10 x.

j)

Was ist der natürliche Logarithmus und welches Zeichen benutzt man für ihn?

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl ≈ 2,71828), also loge x. Man kann kürzer schreiben: ln x für loge x.

Name:  
Datum: