AB: Newtonverfahren II
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Newtonverfahren, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{5}+x^{2}-x-1 \).
Die Funktion \( f \) kann auch als \( f(x) = (x-1)·(x+1)·\left(x^{3}+x+1\right) \) dargestellt werden. Gib die beiden ganzzahligen Nullstellen an und berechne die dritte Nullstelle mit dem Newtonverfahren (Startwert: x0 = -0,7).
f(x) = (x-1)·(x+1)·(x3 + x + 1)
Nullstellen (Linearfaktoren) ablesen mit:
(x - 1) = 0
xN1 = 1
(x + 1) = 0
xN2 = -1
Dritte Nullstelle mit Newtonverfahren berechnen:
\( f(x) = x^{5} + x^{2} - x - 1 \\ f'(x) = 5·x^{4} + 2·x - 1 \\ f'(x) = 5·x^{4} + 2·x - 1 = 0 \)
Plot:
~plot~ x^5+x^2-x-1 ~plot~
Startwert wählen mit: x = -0,5
Newtonverfahren mit: \( x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)} \)
| xi | f(xi) | f'(xi) | xi+1 |
| 0,5 | -0,28125 | -1,6875 | -0,6667 |
| -0,6667 | -0,020 | -1,3455 | -0,6819 |
| -0,6819 | -0,0005 | -1,2827 | -0,6823 |
Die Lösung ist also x ≈ -0,6823
Der Graph der Funktion \( f \) hat jeweils einen Hoch- und einen Tiefpunkt. Bestimme die Extremstellen mittels Newtonverfahren.
Schauen wir uns nochmals den Plot an:
~plot~ x^5+x^2-x-1;[[2]] ~plot~
Der Hochpunkt liegt bei x ≈ -0,9 und der Tiefpunkt liegt bei x ≈ 0,5.
Nutzen wir das Newtonverfahren für den Hochpunkt:
Funktion (erste Ableitung f'(x)): g(x) = 5·x4 + 2·x - 1
Funktion (zweite Ableitung f''(x)): g'(x) = 20·x3 + 2
Startwert (siehe Hochpunkt im Plot) wählen mit: x = -0,9
Newtonverfahren mit: \( x_{i+1} = x_i - \frac{g(x_i)}{g'(x_i)} \)
| xi | g(xi) | g'(xi) | xi+1 |
| -0,9 | 0,4805 | -12,58 | -0,8618 |
| -0,8618 | 0,0344 | -10,8012 | -0,8586 |
| -0,8586 | 0,0001 | -10,6591 | -0,8586 |
Die erste Lösung (Hochpunkt) ist also Extremstelle xHP ≈ -0,8586
Nun zur Bestimmung des Tiefpunktes:
Startwert (siehe Tiefpunkt im Plot) wählen mit: x = 0,5
Newtonverfahren mit: \( x_{i+1} = x_i - \frac{g(x_i)}{g'(x_i)} \)
| xi | g(xi) | g'(xi) | xi+1 |
| 0,5 | 0,3125 | 4,5 | 0,4306 |
| 0,4306 | 0,0331 | 3,5968 | 0,4214 |
| 0,4214 | 0,0005 | 3,4966 | 0,4213 |
Die zweite Lösung (Tiefpunkt) ist also Extremstelle xTP ≈ 0,4213
Berechne die Wendestelle.
Für die Wendestelle benötigen wir die Funktionsgleichung der zweiten Ableitung:
f''(x) = 20·x3 + 2
Wir stellen auf:
f''(x) = h(x) = 20·x3 + 2
h'(x) = 60·x2
Schauen wir uns nochmals den Plot an:
~plot~ x^5+x^2-x-1;[[2]] ~plot~
Der Wendepunkt liegt bei etwa x ≈ -0,4.
Dies können wir als Startwert verwenden.
Newtonverfahren mit: \( x_{i+1} = x_i - \frac{h(x_i)}{h'(x_i)} \)
| xi | h(xi) | h'(xi) | xi+1 |
| -0,4 | 0,72 | 9,6 | -0,457 |
| -0,475 | -0,1434 | 13,5375 | -0,4644 |
| -0,4644 | -0,0031 | 12,94 | -0,4642 |
Der Wendepunkt befindet sich an der Stelle xWP ≈ -0,4642