AB: Lektion Potenzfunktionen (Teil 2)

Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.

1.

Bestimme eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a · xn aus den gegebenen Punkten.

Wir setzen die Wertepaare in die Funktion ein und erhalten jeweils zwei Gleichungen.

a)

P1(2|-224) und P2(1|-7)

-224= a · (2)n

-7 = a · (1)n

Aus der zweiten Gleichung können wir direkt a berechnen:

-7 = a

Setzen wir a nun in die erste Gleichung ein:
-224 = (-7) · (2)n | :(-7)

(\( \frac{224}{7} \)) = (2)n | log

log(32) = log(2) · n | :log(2)

log(32) : log(2) = n

n = 5

Damit haben wir unsere Funktion:
f(x) = (-7) · x5

b)

P1(5|12,5) und P2(9|40,5)

12,5 = a · (5)n

40,5 = a · (9)n

a = 12,5 : (5)n

a = 40,5 : (9)n

12,5 : (5)n = 40,5 : (9)n | ·(5)n

12,5 = 40,5 · (5)n : (9)n | :(40,5)

12,5 : (40,5)= (5)n : (9)n

\( \frac{25}{81} \) = (5 : (9))n

\( \frac{25}{81} \) = (\( \frac{5}{9} \))n | log

log(\( \frac{25}{81} \)) = n · log(\( \frac{5}{9} \)) | :log()

log(\( \frac{25}{81} \)) : log(\( \frac{5}{9} \)) = n

n = 2

Somit haben wir:
f(x) = a · x2

Setzen wir eines der Wertepaare ein, erhalten wir:

12,5 = a · 52

12,5 = a · 25 | :25

0,5 = a

Wir haben somit:
f(x) = 0,5 · x2

c)

P1(4|160) und P2(1,2|4,32)

160 = a · (4)n

4,32 = a · (1,2)n

a = 160 : (4)n

a = 4,32 : (1,2)n

160 : (4)n = 4,32 : (1,2)n | ·(4)n

160 = 4,32 · (4)n : (1,2)n | :4,32

160 : 4,32 = (4)n : (1,2)n

37,04 = (4 : (1,2))n

37,04 = (\( \frac{40}{12} \))n | log

log (37,04) = log(\( \frac{40}{12} \)) · n | :log(\( \frac{40}{12} \))

log (37,04) : log(\( \frac{40}{12} \)) = n

n = 3

Wir haben damit:
f(x) = a · x3

Setzen wir jetzt einen der Punkte ein, um unser a zu bestimmen:

160 = a · 43

160 = a · 64 | :64

160 : 64 = a

a = 2,5

Unsere Funktion lautet somit:

f(x) = 2,5 · x3

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