Potenzfunktionen - Einführung

Potenzfunktionen haben Funktionsgleichungen der Form f(x) = a·xn, wobei n ∈ ℤ und a ∈ ℝ.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Um die Inhalte verstehen zu können, erinnern wir uns, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionbereich und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von f(x) = x4

Symmetrie achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie streng monoton fallend für x ∈ ℝ0- und streng monoton steigend für x ∈ ℝ0+
Definitionsmenge D = ℝ
Wertebereich W = ℝ0+
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von f(x) = x5

Symmetrie punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotonie streng monoton steigend für x ∈ ℝ
Definitionsmenge D = ℝ
Wertebereich W = ℝ
Gemeinsame Punkte (-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit positivem Exponenten (n ≥ 1)
n ∈ ℕ, a = 1

Exponent n gerade Exponent n ungerade
Beispielgraph Potenzfunktion x hoch 4 Potenzfunktion x hoch 5
Symmetrie symmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie streng fallend für \( x ∈ ℝ^{-}_{0} \)
streng steigend für \( x ∈ ℝ^{+}_{0} \)
streng steigend für x ∈ ℝ
Definitionsmenge D = ℝ D = ℝ
Wertebereich \( W = ℝ^{+}_{0} \) W = ℝ
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1 (-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von f(x) = x-2

Symmetrie achsensymmetrisch zur y-Achse
Monotonie streng monoton steigend für x ∈ ℝ- und streng monoton fallend für x ∈ ℝ+
Definitionsmenge D = ℝ \ {0}
Wertebereich W = ℝ+
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (1|1), wenn a=1
Definitionslücke bei x = 0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von f(x) = x-1

Symmetrie punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotonie streng monoton fallend für x ∈ ℝ \ {0}
Definitionsmenge D = ℝ \ {0}
Wertebereich W = ℝ \ {0}
Gemeinsame Punkte (-1|-1), (1|1), wenn a=1
Definitionslücke bei x = 0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit negativem Exponenten (n ≤ -1)
n ∈ ℤ, a > 0

Exponent n gerade Exponent n ungerade
Beispielgraph Potenzfunktion x hoch 2 Potenzfunktion x hoch 1
Symmetrie symmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie streng steigend für x ∈ ℝ-
streng fallend für x ∈ ℝ+
streng fallend für x ∈ ℝ \ {0}
Definitionsmenge D = ℝ \ {0} D = ℝ \ {0}
Wertebereich W = ℝ+ W = ℝ \ {0}
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (1|1) (-1|-1), (1|1)

Polynomfunktionen sind aus Potenzfunktionen zusammengesetzt. Zum Beispiel besteht die Polynomfunktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0).