Potenzfunktionen - Einführung

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Potenzfunktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung der Form f(x)=a·xn, wobei n ∈ ℤ und a ∈ ℝ.

Je nach Exponent n und Vorfaktor a ergeben sich verschiedene Eigenschaften, die im Folgenden in der Übersicht dargestellt sind.

Um die Inhalte verstehen zu können, erinnern wir uns, wie die Symmetrie funktioniert, was Monotonie ist, was Definitionbereich und Wertebereich sind.

Positiver gerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x4

Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R0- und streng monoton steigend für x∈R0+
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R0+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Positiver ungerader Exponent n (n ≥ 1)

Beispiel: Graph von x5

Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R
DefinitionsmengeD = R
WertebereichW = R
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Gegenüberstellung: Positive Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit positivem Exponenten (n ≥ 1)
n ∈ ℕ, a = 1

n gerade n ungerade
Beispielgraph Potenzfunktion x hoch 4 Potenzfunktion x hoch 5
Symmetrie symmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie streng fallend für \( x ∈ ℝ^{-}_{0} \)
streng steigend für \( x ∈ ℝ^{+}_{0} \)
streng steigend für \( x ∈ ℝ \)
Definitionsmenge \( D = ℝ \) \( D = ℝ \)
Wertebereich \( W = ℝ^{+}_{0} \) \( W = ℝ \)
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (0|0), (1|1), wenn a=1 (-1|-1), (0|0), (1|1), wenn a=1

Negativer gerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-2

Symmetrieachsensymmetrisch zur y-Achse
Monotoniestreng monoton steigend für x∈R- und streng monoton fallend für x∈R+
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R+
Gemeinsame Punkte(-1|+1), (1|1), wenn a=1
Definitionslückebei x=0

Negativer ungerader Exponent n (n ≤ -1)

Beispiel: Graph von x-1

Symmetriepunktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Monotoniestreng monoton fallend für x∈R\{0}
DefinitionsmengeD = R\{0}
WertebereichW = R\{0}
Gemeinsame Punkte(-1|-1), (1|1), wenn a=1
Definitionslückebei x=0

Gegenüberstellung: Negative Exponenten

Potenzfunktionen: f(x) = a·xn mit negativem Exponenten (n ≤ -1)
n ∈ ℤ, a > 0

Beispielgraph Potenzfunktion x hoch 2 Potenzfunktion x hoch 1
Symmetrie symmetrisch zur y-Achse punktsymmetrisch zum Ursprung
Monotonie streng steigend für \( x ∈ ℝ_{–} \)
streng fallend für \( x ∈ ℝ_{+} \)
streng fallend für \( x ∈ ℝ \backslash \{0\} \)
Definitionsmenge \( D = ℝ \backslash \{ 0 \} \) \( D = ℝ \backslash \{ 0 \} \)
Wertebereich \( W = ℝ_{+} \) \( W = ℝ \backslash \{ 0 \} \)
Gemeinsame Punkte (-1|+1), (1|1) (-1|-1), (1|1)

Merkt euch außerdem, dass die ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) aus Potenzfunktionen zusammengesetzt sind. Zum Beispiel besteht die ganzrationale Funktion f(x) = 3·x4 + 2·x3 + x - 2 aus mehreren Potenzfunktionen (3·x4 und 2·x3 und x1 sowie -2·x0)

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