Gleichung der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

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Im Folgenden zeigen wir, wie man verschiedene Aufgabentypen zu Potenzfunktionen lösen kann.

Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xⁿ.

Wir sollen die Gleichung der Potenzfunktion bestimmen. Es sind uns hierzu zwei Punkte gegeben:

P₁(2|4) und P₂(3|9)

1. Schritt: Wir setzen jeden Punkt in die allgemeine Gleichung ein, somit erhalten wir zwei Gleichungen.

Beispiel:
f(x) = a·xⁿ   | P₁(2|4)
f(2) = a·2ⁿ = 4

f(x) = a·xⁿ   | P₂(3|9)
f(3) = a·3ⁿ = 9

2. Schritt: Wir formen beide Gleichungen nach a um.

$$ a·2^n = 4 \qquad |:2^n \\ a = \frac{4}{2^n} $$

$$ a·3^n = 9 \qquad |:3^n \\ a = \frac{9}{3^n} $$

3. Schritt: Wir setzen beide Gleichungen gleich.

$$ a = a \\ \frac{4}{2^n} = \frac{9}{3^n} $$

4. Schritt: Wir formen um und bringen die Terme mit den Exponenten auf eine Seite.

$$ \frac{4}{2^n} = \frac{9}{3^n} \qquad | \text{ Kehrwert } \\ \frac{2^n}{4} = \frac{3^n}{9} \qquad |·4 \\ 2^n = \frac{3^n}{9}·4 \quad | :3^n \\ \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} $$

5. Schritt: Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bⁿ: cⁿ = (b/c)ⁿ)

$$ \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} \\ \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} $$

6. Schritt: Wir wenden den Logarithmus an.

$$ \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} \\[10pt] \log \left( \left( \frac{2}{3} \right)^n \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \\[10pt] n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) $$

7. Schritt: Wir bringen n allein auf eine Seite und können n mit dem Taschenrechner berechnen.

$$ n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \quad |:\log \left( \frac{2}{3} \right) \\[10pt] n = \frac{ \log \left( \frac{4}{9} \right) }{ \log \left( \frac{2}{3} \right) } \\[15pt] n = 2 $$

8. Schritt: Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.

a·2ⁿ = 4   | n = 2
a·2² = 4
a·4 = 4    | :4
a = 1

9. Schritt: Wir haben n und a berechnet, nun setzen wir beide in die allgemeine Form der Gleichung ein, um die richtige Funktionsgleichung zu erhalten.

f(x) = a·xⁿ   | n=2; a=1
f(x) = 1·x²

Fertig. Die Funktionsgleichung lautet also: f(x) = x²

Kontrolle mit Graph und eingezeichneten Punkten:

~plot~ x^2;{2|4};{3|9};[[-5|5|-1|12]];noinput ~plot~