Gleichung der Potenzfunktion aus 2 Punkten bestimmen

Im Folgenden zeigen wir, wie man verschiedene Aufgabentypen zu Potenzfunktionen lösen kann.

Eine Potenzfunktion hat allgemein die Form f(x) = a·xn.

Wir sollen die Gleichung der Potenzfunktion bestimmen. Es sind uns hierzu zwei Punkte gegeben.

1. Schritt: Wir setzen jeden Punkt in die allgemeine Gleichung ein, somit erhalten wir zwei Gleichungen.

Beispiel:
f(x) = a·xn   | P1(2|4)
f(2) = a·2n = 4

f(x) = a·xn   | P2(3|9)
f(3) = a·3n = 9

2. Schritt: Wir formen beide Gleichungen nach a um.

a·2n = 4   →   a = 2n / 4

a·3n = 9   →   a = 3n / 9

3. Schritt: Wir setzen die beiden Gleichungen gleich.

a = a
2n / 4 = 3n / 9

\( \frac{2^n}{4} = \frac{3^n}{9} \)

4. Schritt: Wir bringen die Ausdrücke mit dem Exponenten auf eine eigene Seite.

\( \frac{2^n}{4} = \frac{3^n}{9} \\[10pt] 2^n = \frac{3^n}{9}·4 \quad | :3^n \\[10pt] \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} \)

5. Schritt: Wir fassen die beiden Potenzen nach den Potenzgesetzen zusammen. (bn: cn = (b/c)n)

\( \frac{2^n}{3^n} = \frac{4}{9} \\[10pt] \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} \)

6. Schritt: Wir wenden den Logarithmus an.

\( \left( \frac{2}{3} \right)^n = \frac{4}{9} \\[10pt] \log \left( \left( \frac{2}{3} \right)^n \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \\[10pt] n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \)

7. Schritt: Wir bringen n allein auf eine Seite und können n mit dem Taschenrechner berechnen.

\( n · \log \left( \frac{2}{3} \right) = \log \left( \frac{4}{9} \right) \quad |:\log \left( \frac{2}{3} \right) \\[10pt] n = \frac{ \log \left( \frac{4}{9} \right) }{ \log \left( \frac{2}{3} \right) } \\[15pt] n = 2 \)

8. Schritt: Setzen wir n in eine der Gleichungen ein, so können wir a berechnen.

a·2n = 4   | n = 2
a·22 = 4
a·4 = 4
a = 1

9. Schritt: Wir haben n und a berechnet, nun setzen wir beide in die allgemeine Form der Gleichung ein, um die richtige Funktionsgleichung zu erhalten.

f(x) = a·xn   | n=2; a=1
f(x) = 1·x2

Fertig!