AB: Lektion Quadratische Pyramide (Teil 3)
Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Quadratische Pyramide“.
Bestimme die Lösungen der Textaufgaben:
Die Cheopspyramide in Ägypten hat eine quadratische Grundfläche. Jede Seite der Grundfläche ist 230 m lang. Die Höhe der Pyramide ist 147 m. Wie viele Steine wurden für den Bau der Pyramide gebraucht? Ein Stein ist 1 m³.
\( V = \frac{1}{3}·G·h \\ V = \frac{1}{3}·a^2·h \\ V = \frac{1}{3}·(230 \text{ m})^2·(147 \text{ m}) \\ V = \frac{1}{3}·(52900·147) \text{ m}^3 \\ V = 2~592~100 \text{ m}^3 \)
Es wurden 2 592 100 Steine zum Bau der Pyramide benötigt.
Ein Glasdach hat die Form einer Pyramide. Die Höhe des Daches entspricht 5 m. Die Seitenkanten haben je eine Länge von 6 m. Wie viel m² Glas wird gebraucht (Verschnitt und Grundfläche nicht mitgerechnet)?
Wir müssen die Mantelfläche berechnen, die sich aus M = 2·a·ha ergibt. Beide Unbekannte müssen wir ermitteln:
Zuerst berechnen wir die Seite a aus, mit Hilfe der gegebenen Seitenkante und Höhe:
\( s = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}} \\ s^2 = h^2 + \frac{a^2}{2} \\ a = \sqrt{2·s^2 - 2·h^2} \\ a = \sqrt{2·(6 \text{ m})^2 - 2·(5 \text{ m})^2} \\ a = \sqrt{72 \text{ m}^2 - 50 \text{ m}^2} \\ a ≈ 4,69 \text{ m} \)
Jetzt bestimmen wir die Höhe ha:
\( M = 2·a·h_{a} \\ → h_{a} = \sqrt{h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2} \\ h_{a} = \sqrt{(5 \text{ m})^2 + \left( \frac{4,69 \text{ m}}{2} \right)^2} \\ h_{a} = \sqrt{30,499025 \text{ m}^2} \\ h_{a} ≈ 5,52 \text{ m} \)
Nun können wir die Werte in die Formel für die Mantelfläche einsetzen:
\( M = 2·a·h_{a} \\ M = 2·(4,69 \text{ m})·(5,52 \text{ m}) \\ M ≈ 51,8 \text{ m}^2 \)
Die Grundfläche brauchen wir nicht zu berechnen, es ist nur die Mantelfläche von Interesse.
Ein Zelt in der Form einer Pyramide hat eine Grundfläche von 36 m². Zudem eine Höhe von 1,5 m. Das Volumen wir mit 18.000 l beworben. Ist das korrekt?
V = 1/3·G·h
V = 18 m³
V = 18 000 l
Die Werbung ist also korrekt.
Eine quadratische Pyramide mit der Grundseite von 3 cm und einer Masse von 44 g besteht aus Kupfer (Dichte p = 8,5 g/cm³). Wie hoch ist die Pyramide?
Es ist V = 1/3·G·h, wobei G mit 9 cm² direkt abzulesen ist.
V ergibt sich aus:
\(
p = \frac{m}{V}
\\
V = \frac{m}{p}
\\
V = \frac{44 \text{ g} }{ 8,5 \text{ cm}^3 }
\\
V ≈ 5,176 \text{ cm}^3
\)
\( h = 3·\frac{V}{G} \\ h = 3·\frac{5,176 \text{ cm}^3}{9 \text{ cm}^2} \\ h = 1,725 cm \)
Eine Milchpackung in Form einer quadratischen Pyramide hat eine Grundfläche von 100 cm² soll genau 1 Liter an Milch tragen können (Es wird kein Leerraum für Luft beansprucht). Wie hoch muss die Pyramide mindestens sein?
V = 1/3·G·h
h = 3·V/G
h = 30·1 000 cm³/100 cm²
h = 30 cm