AB: Pythagoras im Alltag (Erweitert)
Im Alltag trifft man auf viele Probleme, die sich mit Hilfe vom Satz des Pythagoras lösen lassen. Nachfolgend sind solche Situationen aufgezeigt, die es zu lösen gilt.
Benutze den Satz des Pythagoras, um die Aufgaben aus dem Alltag zu lösen.
Es sind zwei Punkte im Koordinatensystem gegeben. Punkt A(-2,5|0) und Punkt B(2|3). Bestimme die Entfernung beider Punkte zueinander.
Wenn wir eine Strecke für die x-Werte der Punkte einzeichnen und eine Strecke für deren y-Werte, dann erhalten wir:
Das Zeichen Δ steht für den Abstand.
Wir können nun den Satz des Pythagoras anwenden, um die direkte Entfernung (z) zu berechnen:
Δx² + Δy² = z²
Setzen wir die Abstände ein und lösen auf:
4,5² + 3² = z²
20,25 + 9 = z²
z² = 29,25
z = √29,25 ≈ 5,41
Die Entfernung der beiden Punkte beträgt z = √29,25 bzw. gerundet z = 5,41 Längeneinheiten.
Wie lang muss eine Leiter sein, wenn sie bei einem Abstand von 1,45 m von einer Wand 5,25 m hoch sein soll?
Die Höhe beträgt 5,25 m, die Breite 1,45 m. Gesucht ist die Diagonale. Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck und können direkt anwenden:
Diagonale d² = (5,25 m)² + (1,45 m)²
d² = 27,5625 m² + 2,1025 m²
d² = 29,665 m²
d = √29,665 m
d ≈ 5,47 m
Die Leiter muss mindestens 5,47 m lang sein, um bei einem Abstand von 1,45 m an die Höhe von 5,25 m zu reichen.
Eine Tür in einer Altbauwohnung ist \( \frac{17}{8} \) m hoch und \( \frac{5}{7} \) m breit. Passt ein 2,10 m breites und 3,40 m langes Brett hindurch?
Wir berechnen die Diagonale der Tür und wissen dann, wie lang das Brett maximal sein darf.
Diagonale d² = (\( \frac{17}{8} \) m)² + (\( \frac{5}{7} \) m)²
d² = \( \frac{289}{64} \) m² + \( \frac{25}{49} \) m²
d² = \( \frac{289·49}{64·49} \) m² + \( \frac{25·64}{49·64} \) m²
d² = \( \frac{14161}{3136} \) m² + \( \frac{1600}{3136} \) m²
d² = \( \frac{14161 + 1600}{3136} \) m²
d² = \( \frac{15761}{3136} \) m²
d² ≈ 5,0258 m²
d ≈ √5,0258 m
d ≈ 2,24 m
Das Brett passt durch die Tür, wenn man die Brettbreite (2,10 m) diagonal durch die Tür schiebt. Die Diagonale ist ca. 2,24 m.
Eine Seilbahn führt von einer 431 m hoch gelegenen Talstation auf das Skigebiet in 999 m Höhe. Die horizontale Luftlinie zwischen Tal- und Bergstation beträgt 2120 m. Wie lang ist die Seilbahn?
Um die Länge der Seilbahn zu berechnen, können wir den Satz des Pythagoras verwenden.
Die Höhendifferenz zwischen Talstation und Skigebiet ist: 999 m - 431 m = 568 m. Schreiben wir h = 568 m.
Der horizontale Abstand beträgt 2120 m. Schreiben wir a = 2120 m.
Die Verbindung zwischen Talstation und Bergstation ist die Diagonale. Nennen wir Sie d.
Damit ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten h, a und d.
Und es gilt: d² = h² + a²
Setzen wir die Werte ein:
d² = (568 m)² + (2120 m)²
d² = 322 624 m² + 4 494 400 m²
d² = 4 817 024 m²
d = √4 817 024 m
d ≈ 2194,8 m
Die Seilbahn ist etwa 2194,8 m lang.
Ein quaderförmiges Zimmer ist 5 m lang, 2,80 m breit und 2,50 m hoch. Genau in der Mitte der kurzen Seite liegt eine Biene auf dem Boden. An der Wand gegenüber befindet sich ebenfalls genau in der Mitte, aber 20 cm von der Decke entfernt eine Spinne. Wie weit ist die Spinne von der Biene entfernt?
Zuerst müssen wir eine Skizze anfertigen, um den Sachverhalt besser zu verstehen:
Die Höhe der Spinne ist demnach: h = 2,5 m - 0,2 m = 2,3 m.
Der horizontale Abstand zwischen Biene und Spinne ist 5 m.
Die Entfernung x (die Hypotenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks) berechnet sich demnach mit:
x² = (2,3 m)² + (5 m)²
x² = 5,29 m² + 25 m²
\(
x = \sqrt{30,29 \;m^2}
\)
x ≈ 5,5 m
Biene und Spinne sind ca. 5,5 m voneinander entfernt.
In einem Glockenturm hängt das Seil zum Läuten der Glocke senkrecht herab. Wenn das Ende des Seils unten um 2 m nach rechts bewegt wird, hebt sich das Seilende um 10 cm. Wie lang ist das gespannte Seil?
Hier machen wir eine Skizze und nutzen die Variable s für die unbekannten Werte:
Wir erkennen, dass sich der Satz des Pythagoras wie folgt anwenden lässt:
Seillänge s² = (s - 10 cm)² + (2 m)²
s² = (s - 10)² + (200)²
s² = (s² - 2·s·10 + 100) + 40000
s² = s² - 20·s + 100 + 40000 | -s²
0 = -20·s + 40100 | +20·s
20·s = 40100 | :20
s = 2005 cm = 20,05 m
Das Seil hat eine Länge von 20,05 m.