AB: Lektion Quadratische Funktionen (Teil 5)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Überführe in Linearfaktordarstellung:
Um die Überführung in die Linearfaktordarstellung zu vollziehen, kann man die Nullstellen bestimmen und daraus die Linearfaktoren bilden.
f(x) = x² + 2·x + 1
Hier braucht es keine Nullstellenbestimmung. Erkennt man die erste binomische Formel, so kann man direkt die Linearfaktordarstellung angeben
f(x) = x² + 2·x + 1
x² + 2·x + 1 | erste binomische Formel
= (x+1)²
= (x+1)·(x+1)
g(x) = 2·x² + 4·x + 2
g(x) = 2·x² + 4·x + 2
2·x² + 4·x + 2 | 2 ausklammern
= 2·(x² + 2·x + 1) | In der Klammer erste binomische Formel erkennen
= 2·((x+1)²)
= 2·(x+1)·(x+1)
h(x) = x² - 3·x - 10
h(x) = x² - 3·x - 10
Nullstellenbestimmung, da keine binomische Formel erkennbar:
x² - 3·x - 10 = 0 | p-q-Formel mit p = -3 und q = -10
$$ x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ x_{1,2} = -( \frac{-3}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-3}{2} )^{2} - (-10)} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm \sqrt{ \frac{9}{4} + 10} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm \sqrt{12,25} \\ x_{1,2} = 1,5 \pm 3,5 \\ x_1 = 1,5 + 3,5 = 5 \\ x_2 = 1,5 - 3,5 = -2 $$
Damit ist die Linearfaktordarstellung als h(x) = (x-5)·(x+2) anzugeben. Setzt man nun die Nullstellen von oben ein, wird die Funktion 0, so wie es auch für h(x) in seiner Normalform gilt. Überhaupt ergibt sich aus obigen die Normalform von h(x).
k(x) = x² - \( \frac{x}{2} \) - 5
k(x) = x² - x/2 - 5
Nullstellenbestimmung, da keine binomische Formel erkennbar:
x² - x/2 - 5 = 0 | p-q-Formel mit p = -0,5 und q = -5
x² + (-0,5)·x + (-5) = 0 | p-q-Formel mit p = -0,5 und q = -5
$$ x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ x_{1,2} = -( \frac{-0,5}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-0,5}{2} )^{2} - (-5)} \\ x_{1,2} = 0,25 \pm \sqrt{ 0,0625 + 5} \\ x_{1,2} = 0,25 \pm \sqrt{5,0625} \\ x_{1,2} = 0,25 \pm 2,25 \\ x_1 = 0,25 + 2,25 = 2,5 \\ x_2 = 0,25 - 2,25 = -2 $$
Damit ist die Linearfaktordarstellung als k(x) = (x-2,5)·(x+2) anzugeben.