Linearfaktoren / Linearfaktorform

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Der „Satz vom Nullprodukt“ ist sehr hilfreich, wenn man eine Funktion in Linearfaktoren aufschreiben will. Denn die Linearfaktordarstellung ist nichts weiter als die „Aneinanderreihung“ der Nullstellen.

Soll die Linearfaktordarstellung von \( f(x) = x^2 + 2·x - 3 \) angegeben werden, so kann man die Nullstellen mit der p-q-Formel oder der quadratischen Ergänzung errechnen. Wir erhalten die Nullstellen \( x_1 = -3 \) und \( x_2 = 1 \).

Diese Nullstellen bringen wir nun in Verbindung, indem wir sie wie folgt notieren:

\( f(x) = (x - x_1)·(x - x_2) \quad | x_1 = -3 \text{ und } x_2 = 1 \\ f(x) = (x - (-3))·(x - 1) \)

Damit lautet die Linearfaktordarstellung der Funktion:

\( f(x) = (x+3)·(x-1) \)

Man beachte, dass, wenn man nun die Nullstellen für x einsetzt, das Produkt jeweils 0 ist. Die Nullstellen der Funktion sind erhalten.

Linearfaktorform bei Vorfaktor

Es ist Vorsicht geboten, wenn man von beispielsweise \( f(x) = 3·x^2 + 6·x - 9 \) die Nullstellen bestimmen soll, da es hier den Vorfaktor 3 gibt. Zum Berechnen der Nullstellen müssten wir durch den Vorfaktor 3 dividieren und dann die p-q-Formel anwenden.

Dieser Vorfaktor muss bei der Angabe der Linearfaktoren berücksichtigt werden. Die Nullstellen bei \( f(x) = 3·x^2 + 6·x - 9 \) sind: \( x_1 = 1 \) und \( x_2 = -3 \).

Damit ergibt sich für die Linearfaktordarstellung:

\( f(x) = \color{#F00}{3}·x^2 + 6·x - 9 \\ f(x) = \color{#F00}{3}·(x+3)·(x-1) \)

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