Quadratische Ergänzung

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Um mit dem Scheitelpunkt arbeiten zu können, sprich Aufgaben à la „Bestimme den Scheitelpunkt aus der Allgemeinform“ bestimmen zu können, ist es sicher hilfreich, über das Mittel der Quadratischen Ergänzung zu verfügen. Um quadratisch ergänzen zu können, muss man sich der Binomische Formeln bewusst sein. Zeigen wir anhand eines Beispiels, wie das auszusehen hat:

Es sei eine Funktion in Allgemeinform gegeben: f(x) = 3·x² + 6·x + 5. Die Aufgabe laute nun, dass man mit Hilfe der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt bestimmen soll.

Schrittweises Vorgehen zur Lösung:

3·x²+6·x+5 | nach rechts schreiben des konstanten Glieds
3·x²+6·x+5 | “vorne“ ausklammern der 3
3·(x²+2·x)+5 | in der Klammer ergänzen, sodass man eine Binomische Formel bilden kann

Es ist hier wichtig, dass man die 1, die man hinzuaddiert, um eine binomische Formel zu erhalten, auch gleich wieder subtrahiert. Sonst würde man die Funktion ändern, also eine andere Funktion erschaffen.

3·(x²+2·x+1-1)+5 | aus dem Term in der Klammer (ohne die -1) die Binomische Formel bilden
3·((x+1)² - 1)+5 | ausmultiplizieren
3·(x+1)² - 3·1 +5 | verrechnen
3·(x+1)² + 2

Die Funktion f(x) = 3·x²+6·x+5 kann also auch durch 3·(x+1)²+2 ausgedrückt werden. Hier kann der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Er lautet S(-1|2), wenn wir uns daran erinnern, dass sich dieser ergibt aus:

f(x) = a·(x-v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Hinweis: Ist man nicht in der Lage, die passende Ergänzung zur binomischen Formel zu erkennen, so sei hier noch eine Alternative für die Berechnung genannt.

Wir hatten gerade den Klammerinhalt von x²+2x vor uns. Zudem kennen wir die binomische Formel zu a²+2ab+b² = (a+b)²

Vergleichen wir das:
a²+2·a·b+b²
x²+2·x

Es muss aus dem ersten Summanden im Vergleich gelten:
a² = x²
a = x

Damit wissen wir aus dem folgenden Summanden:
2·a·b = 2·x | da a = x bekannt ist, können wir das weglassen bzw. x=a setzen und dann :a dividieren
2·b = 2 | :2
b = 1

Wir können also b zu 1 identifizieren, indem wir den zweiten Summanden gleichgesetzt haben. Aus der binomischen Formel ergibt sich damit: (x+1)², genau wie wir es oben hatten.

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