Quadratische Ergänzung

Um mit dem Scheitelpunkt arbeiten zu können, sprich Aufgaben à la „Bestimme den Scheitelpunkt aus der Allgemeinform“ bestimmen zu können, ist es hilfreich, die quadratische Ergänzung zu verstehen, mit der wir die Scheitelpunktform bilden können.

Um quadratisch ergänzen zu können, muss man sich der binomische Formeln bewusst sein. Zeigen wir anhand eines Beispiels, wie das aussieht:

Es sei eine Funktion in Allgemeinform gegeben: f(x) = 3·x² + 6·x + 5. Die Aufgabe laute nun, dass man mit Hilfe der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt bestimmen soll.

Schrittweises Vorgehen zur Lösung:

1. Schritt: Gleichung in Allgemeinform notieren
3·x² + 6·x + 5

2. Schritt: Vorfaktor 3 ausklammern
3·(x² + 2·x) + 5

3. Schritt: Term in der Klammer ergänzen, sodass die binomische Formel anwendbar ist
3·(x² + 2·x + 1 - 1) + 5

Es ist hier wichtig, dass man die 1, die man hinzuaddiert, um eine binomische Formel zu erhalten, auch gleich wieder subtrahiert. Sonst würde man die Funktionsgleichung verändern, also eine andere Funktion erschaffen.

4. Schritt: Aus dem Term in der Klammer (ohne die -1) die binomische Formel bilden
3·(x² + 2·x + 1 - 1) + 5
3·((x + 1)² - 1) + 5

5. Schritt: Ausmultiplizieren
3·((x + 1)² - 1) + 5
(x + 1)² - 1 + 5

6. Schritt: Werte verrechnen/zusammenfassen
3·(x + 1)² + 2

Die Funktion f(x) = 3·x² + 6·x + 5 kann also auch durch f(x) = 3·(x + 1)² + 2 (Scheitelpunktform) ausgedrückt werden.

f(x) = 3·x2 + 6·x + 5
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 |  Quadratische
 |  Ergänzung
 ↓
f(x) = 3·(x - (-1))2 + 2

An dieser Gleichung können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen. Er lautet S(-1|2). Erinnern wir uns daran, dass sich dieser ergibt aus: f(x) = a·(x - v)² + n, wobei der Scheitelpunkt S(v|n) lautet.

Alternative Berechnung

Ist man nicht in der Lage, die passende Ergänzung zur binomischen Formel zu erkennen, so sei hier noch eine Alternative für die Berechnung genannt.

Wir hatten gerade den Klammerinhalt von x² + 2x vor uns. Zudem kennen wir die binomische Formel mit a² + 2·a·b + b² = (a + b)²

Vergleichen wir das:
a² + 2·a·b + b²
x² + 2·x

Es muss aus dem ersten Summanden im Vergleich gelten:
a² = x²
a = x

Damit wissen wir aus dem folgenden Summanden:
2·a·b = 2·x | da a = x bekannt ist, können wir x = a setzen
2·a·b = 2·a | :a
2·b = 2 | :2
b = 1

Wir haben also b = 1 ermittelt, indem wir den zweiten Summanden gleichgesetzt haben. Aus der binomischen Formel ergibt sich damit: (x + 1)², genau wie wir es oben gesehen hatten.