Normalform einer quadratischen Funktion

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Wir hatten uns die Allgemeinform einer quadratischen Funktion angeschaut, sie lautet: \( f(x) = a·x^2 + b·x + c \), wobei a, b und c reelle Zahlen sind und x die Variable.

Damit wir die Normalform erhalten, muss a = 1 sein.

Zum Beispiel ist die Funktionsgleichung \( f(x) = 1·x^2 + 5·x + 2 \) in Normalform. Die „1·x²“ schreibt man übrigens nur als „x²“: \( f(x) = x^2 + 5·x + 2 \)

Die Normalform einer quadratischen Funktion lautet: \( f(x) = x^2 + b·x + c \)

Dabei handelt es sich nur um die verschobene Normalparabel, also ohne Stauchung oder Streckung.

Normalform einer quadratischen Gleichung

Auch bei den quadratischen Gleichungen stoßen wir auf eine „Normalform“.

Bei den Berechnungen von Nullstellen muss man die Funktionsgleichung (die Allgemeinform) null setzen. Zum Beispiel:

\( f(x) = 3·x^2 - 6·x - 9 \qquad | \text{ Null setzen} \\ 3·x^2 - 6·x - 9 = 0 \)

Nun haben wir eine quadratische Gleichung erzeugt, die wir auf beiden Seiten durch den Vorfaktor bei x² (im Beispiel die „3“) dividieren können, also:

\( \color{#00F}{3}·x^2 - 6·x - 9 = 0 \qquad | :\color{#00F}{3} \\ 3·x^2:\color{#00F}{3} - 6·x:\color{#00F}{3} - 9:\color{#00F}{3} = 0:\color{#00F}{3} \\ x^2 - 2·x - 3 = 0 \)

Diese quadratische Gleichung liegt jetzt in Normalform vor. \( x^2 \) steht ohne Vorfaktor da.

Allgemein notieren wir die Normalform einer quadratischen Gleichung mit: \( x^2 + \color{#00F}{p}·x + \color{#00F}{q} = 0 \)

Diese Gleichung können wir mit der p-q-Formel lösen. Der Name „p-q-Formel“ entspringt der Bezeichnung der Koeffizienten.

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