Nullstellen mit Hilfe der abc-Formel

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Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die abc-Formel.

Die abc-Formel lautet:

$$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 · a · c}}{2 · a} $$

Machen wir eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 2·x² - 1·x - 3 mit Hilfe der abc-Formel.“

Als erstes setzen wir die Funktion 0:

\( f(x) = 2·x^2 - 1·x - 3 \\ 2·x^2 - 1·x - 3 = 0 \)

Als nächstes wenden wir die abc-Formel an:

\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4 · a · c} }{2 · a} \qquad | a = 2; \space b = -1; \space c = -3 \\ x_{1,2} = \frac{ -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 · 2 · (-3)} }{2 · 2} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - 8 · (-3)} }{4} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm \sqrt{25} }{4} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm 5 }{4} \)

Die zwei Lösungen lauten:

\( x_1 = \frac{ 1 + 5 }{4} = 1,5 \\ x_2 = \frac{ 1 - 5 }{4} = -1 \)

Zur Kontrolle können wir den Graphen zeichnen und schauen, ob die Nullstellen stimmen:

~plot~ 2*x^2-x-3;[[-4|6|-15|15]] ~plot~

Zusammenfassung der Lösungsschritte

Die Lösungsschritte seien nachfolgend kurz zusammengefasst:

1. Funktion gleich null setzen, f(x) = … = 0
2. abc-Formel zur Lösung verwenden
3. Lösung ausrechnen

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