Nullstellen mit Hilfe der abc-Formel
Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die abc-Formel.
Die abc-Formel lautet:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 · a · c}}{2 · a} \)
Machen wir eine Beispielaufgabe:
„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 2·x² - 1·x - 3 mit Hilfe der abc-Formel.“
Als erstes setzen wir die Funktion … = 0:
f(x) = 2·x2 - 1·x - 3
2·x2 - 1·x - 3 = 0
Als nächstes wenden wir die abc-Formel an:
\( x_{1,2} = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4 · a · c} }{2 · a} \qquad |~a = 2; \space b = -1; \space c = -3 \\ x_{1,2} = \frac{ -(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4 · 2 · (-3)} }{2 · 2} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm \sqrt{1 - 8 · (-3)} }{4} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm \sqrt{25} }{4} \\ x_{1,2} = \frac{ 1 \pm 5 }{4} \)
Die zwei Lösungen lauten:
\( x_1 = \frac{ 1 + 5 }{4} = 1,5 \\ x_2 = \frac{ 1 - 5 }{4} = -1 \)
Zur Kontrolle können wir den Graphen zeichnen und schauen, ob die Nullstellen stimmen:
~plot~ 2*x^2-x-3;[[-4|6|-15|15]];noinput ~plot~
Zusammenfassung der Lösungsschritte
Die Lösungsschritte seien nachfolgend kurz zusammengefasst:
1. Funktion gleich null setzen, f(x) = … = 0
2. abc-Formel aufstellen
3. Lösung berechnen