Formelübersicht Quadratische Funktionen

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Nachstehend eine Übersicht über alle wesentlichen Formeln und Merksätze zu den Quadratischen Funktionen.

1. Definition

Wir sprechen von einer „quadratischen Funktion“, wenn die in der Funktionsgleichung höchste vorkommende Potenz der Variablen 2 ist (also x²). Einfachstes Beispiel: \( f(x) = x^2 \).

2. Normalparabel

Die Normalparabel ergibt sich aus \( f(x) = x^2 \). Sie sieht wie folgt aus:

3. Verschobene Normalparabel

Wir können die Normalparabel nach oben/unten verschieben, indem wir einen Wert zum x² hinzuaddieren. Allgemein: \( f(x) = x^2 + c \). Als Beispiel \( f(x) = x^2 + 1 \):

4. Gestauchte/gestreckte Normalparabel

Wir können die Normalparabel stauchen/strecken, indem wir einen Wert zum x² multiplizieren. Allgemein: \( f(x) = a·x^2 \).

Je nachdem welchen Wert a hat, verändert sich die Parabel. Bei a > 1 wird sie gestreckt. Bei 0 < a < 1 wird sie gestaucht. Bei a = 1 ergibt sich die Normalparabel. Bei negativen Werten für a wird die Parabel gespiegelt.

5. Allgemeinform

Die Allgemeinform der quadratischen Funktion lautet: \( f(x) = a·x^2 + b·x + c \)

Je nachdem, wie die Werte für a, b und c gewählt werden, verändert sich der Graph der Parabel:

6. Normalform

Wir sprechen von der Normalform einer quadratischen Funktion, wenn der Koeffizient a bei der Allgemeinform \( f(x) = a·x^2 + b·x + c \) zu 1 wird und das \( x^2 \) damit ohne Vorfaktor stehen darf.

Die Normalform notieren wir mit \( x^2 + p·x + q = 0 \). Sie wird genutzt, um die Nullstellen der quadratischen Funktion mit Hilfe der p-q-Formel zu berechnen. Die Schritte hierzu sind:

  1. Funktionsgleichung null setzen: \( f(x) = a·x^2 + b·x + c = 0 \).
  2. Dividieren der Gleichung durch a, damit a = 1 wird:
    \( a·x^2 + b·x + c = 0 \qquad | :a \\ \frac{a}{a}·x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} = \frac{0}{a} \\ x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} = 0 \)
  3. Die Normalform ist damit gebildet:
    \( x^2 + \frac{b}{a}·x + \frac{c}{a} = 0 \qquad | \text{wobei } p = \frac{b}{a} \text{ sowie } q = \frac{c}{a} \\ x^2 + p·x + q = 0 \)
  4. Die Normalform \( x^2 + p·x + q = 0 \) lässt sich nun mit Hilfe der p-q-Formel lösen.

7. Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der Punkt auf der Parabel, der am höchsten liegt („Hochpunkt“) oder am tiefsten liegt („Tiefpunkt“). Jede Parabel hat nur einen solchen Hochpunkt oder Tiefpunkt.

Ob ein Hochpunkt oder Tiefpunkt vorliegt, erkennt man am Vorzeichen von x².

8. Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform lautet \( f(x) = a·(x - \color{#F00}{v})² + \color{#0A0}{n} \).

Man kann an der Scheitelpunktform direkt den Scheitelpunkt ablesen: \( S(\color{#F00}{v}|\color{#0A0}{n}) \).

Die Allgemeinform kann in die Scheitelpunktform umgeformt werden. Hierzu verwendet man die sogenannte „quadratische Ergänzung“.

9. Quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung ist ein Berechnungsverfahren, um eine Funktionsgleichung von der Allgemeinform in die Scheitelpunktform zu überführen.

Also von der Allgemeinform \( f(x) = a·x^2 + b·x + c \) zur Scheitelpunktform \( f(x) = a·(x - \color{#F00}{v})² + \color{#0A0}{n}\).

10. Nullstellen der Parabel mit Scheitelpunktform

Sofern wir die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform haben, können wir recht einfach die Nullstellen der Parabel berechnen:

  1. Funktionsgleichung null setzen: \( f(x) = 2·(x - 3)^2 - 8 = 0 \)
  2. Konstantes Glied (also ohne x) auf die rechte Seite bringen: \( 2·(x - 3)^2 = 8 \)
  3. Beide Seiten durch etwaigen Vorfaktor (Wert vor der Klammer) dividieren: \( \frac{2·(x - 3)^2}{2} = \frac{8}{2} \rightarrow (x-3)^2 = 4 \)
  4. Wurzel ziehen (dabei Plus-Minus-Vorzeichen berücksichtigen): \( \sqrt{(x-3)^2} = \pm \sqrt{4} \rightarrow x-3 = \pm 2 \)
  5. Lösungen ausrechnen: \( x_{1,2} = \pm 2 + 3 \rightarrow x_{1} = 1; x_{2} = 5 \)
  6. Probe durchführen

11. Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel

Wir können die Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel berechnen. Dazu machen wir zuerst aus der Allgemeinform die Normalform (also \( x^2 + p·x + q = 0 \)) und wenden dann die p-q-Formel zur Berechnung an.

  1. Funktionsgleichung null setzen: \( f(x) = 2·x^2 - 8·x + 3 = 0 \)
  2. Beide Seiten durch etwaigen Vorfaktor (Wert vor x²) dividieren, damit wir die Normalform erhalten: \( \frac{2·x^2}{2} - \frac{8·x}{2} + \frac{3}{2} = 0 \rightarrow x^2 - 4·x + 1,5 \)
  3. p-q-Formel zur Lösung verwenden: \( {x}_{1,2} = -\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q} \)
    Beim Beispiel ist \( p = -4 \) und \( q = 1,5 \). Somit: \( {x}_{1,2} = -\left(\frac{-4}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{-4}{2}\right)^{2} - 1,5} \)
  4. Lösungen ausrechnen:
    \( {x}_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 1,5} = 2 \pm \sqrt{2,5} \\ x_{1} ≈ 3,58; \quad x_{2} ≈ 0,42 \)

12. Nullstellen bei f(x) = a·x² - c

Wenn wir kein lineares Glied (also b·x) in der Funktionsgleichung haben, können wir ebenfalls die Nullstellen bei f(x) = ax² - c berechnen.

  1. Funktionsgleichung null setzen: \( f(x) = 4·x^2 - 5 = 0 \)
  2. Konstanten Wert auf die rechte Seite bringen: \( 4·x^2 = 5 \)
  3. Beide Seiten durch etwaigen Vorfaktor (Wert vor x²) dividieren: \( \frac{4·x^2}{4} = \frac{5}{4} \rightarrow x^2 = 1,25 \)
  4. Wurzel ziehen: \( x^2 = 1,25 \qquad | \pm \sqrt{} \\ x_{1,2} = \pm \sqrt{1,25} \)
  5. Lösungen notieren: \( x_1 = \sqrt{1,25}; \quad x_2 = -\sqrt{1,25} \)

13. Nullstellen bei f(x) = ax² + bx

Wenn wir kein konstantes Glied (also c) in der Funktionsgleichung haben, können wir ebenfalls die Nullstellen bei f(x) = ax² + bx berechnen. Hierzu klammern wir das x einfach aus.

  1. Funktionsgleichung null setzen: \( f(x) = 8·x^2 + 5·x = 0 \)
  2. Das x ausklammern: \( x · (8·x + 5) = 0 \)
  3. Der Satz vom Nullprodukt besagt, wenn ein Term in der Multiplikation null wird, wird der gesamte Term null:
    \( \color{#00F}{x} · (8·x + 5) = 0 \rightarrow x = 0 \\ x · \color{#00F}{(8·x + 5)} = 0 \rightarrow 8·x + 5 = 0 \)
  4. Zweite Teilgleichung ausrechnen: \( 8·x + 5 = 0 \\ 8·x = -5 \\ x = -\frac{5}{8} = -0,625 \)
  5. Lösungen notieren: \( x_1 = 0; \quad x_2 = -0,625 \)

14. Linearfaktorform

Um die Linearfaktorform bilden zu können, müssen uns die Nullstellen bekannt sein.

Haben wir diese Nullstellen gegeben: \( x_1 = -3 \text{ und } x_2 = 1 \), dann können wir die Linearfaktorform aufstellen mit:

\( f(x) = (x_1 - (-3))·(x_2 - 1) \)

Dies können wir schreiben als:

\( f(x) = (x + 3)·(x - 1) \)

Rechnen wir die beiden Klammern noch aus, dann erhalten wir die Allgemeinform (bzw. Normalform):

\( f(x) = (x + 3)·(x - 1) \\ f(x) = x·x + x·(-1) + 3·x + 3·(-1) \\ f(x) = x^2 + 2·x - 3 \)

15. Diskriminante

Der Wert der Diskriminante verrät, wie viele Lösungen eine quadratische Gleichung hat (bzw. die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion).

  • Eine Lösung, sofern D = 0 (Diskriminante ist null).
  • Zwei Lösungen, sofern D > 0 (Diskriminante ist positiv).
  • Keine Lösung, sofern D < 0 (Diskriminante ist negativ).

Formel der Diskriminaten für p-q-Formel: \( D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 } - q \)

Formel der Diskriminaten für abc-Formel: \( D = b^2 - 4·a·c \)

16. Satz von Vieta

Haben wir eine Normalform einer quadratischen Gleichung, so gibt der Satz von Vieta für die beiden Lösungen folgenden Zusammenhang an:

\( x_{1} + x_{2} = -\color{red}{p} \\ x_{1}\cdot x_{2} = \color{green}{q} \)

Dies können wir uns zunutze machen, um die Lösungen (sofern sie ganzzahlig sind) zu bestimmen.

  1. p und q aus der Normalform ablesen.
  2. p und q beim Satz von Vieta (beide Formeln) einsetzen.
  3. Mögliche Lösungen ermitteln.

Tabelle aller Formeln

Normalparabel \( f(x) = x^2 \)
Verschobene Normalparabel \( f(x) = x^2 + c \)
Gestauchte/gestreckte Normalparabel \( f(x) = a·x^2 \)
Allgemeinform der quadratischen Funktion \( f(x) = a·x^2 + b·x + c \)
Normalform der quadratischen Funktion \( f(x) = x^2 + b·x + c \)
Normalform der quadratischen Gleichung \( x^2 + p·x + q = 0 \)
Scheitelpunktform \( f(x) = a·(x - v)^2 + n \)
bzw.
\( f(x) = a·(x - S_x)^2 + S_y \)
Scheitelpunkt \( S(S_x|S_y) \)
Linearfaktorform \( f(x) = a · (x - x_{1}) · (x - x_{2}) \)
wobei x₁ und x₂ die Nullstellen sind und a der Formfaktor
p-q-Formel \( { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { p }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q } \)
abc-Formel \( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \)
Diskriminante \( D = \left(\frac { p }{ 2 } \right)^{ 2 }-q \)
bzw.
\( D = b^2 - 4·a·c \)
Satz von Vieta \( x_{1} + x_{2} = -p \\ x_{1} · x_{2} = q \)
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