Nullstellen mit Hilfe der p-q-Formel

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Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die p-q-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x²+p·x+q = 0. Wichtig ist dabei, dass der Koeffizient von x² eine 1 ist, erst dann ist es eine Normalform. Auch eine Gleichung in Allgemeinform kann in die Normalform überführt werden. Man muss nur durch a dividieren.

Die p-q-Formel lautet:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Machen wir wieder eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x²+6x-9 mit Hilfe der p-q-Formel.“

Als erstes setzen wir die Funktion 0, um dann durch den Vorfaktor (die Zahl vor x²) zu dividieren:

\( 3·x^2 + 6·x - 9 = 0 \qquad | :3, \text{damit vor x² eine 1 steht} \\ 3·x^2:3 + 6·x:3 - 9:3 = 0:3 \\ 1·x^2 + 2·x - 3 = 0 \)

Als nächstes wenden wir die p-q-Formel an:

\( x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \qquad | \space p = 2 \text{ und } q = -3 \\ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { 2 }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { 2 }{ 2 } \right)^{ 2 }-(-3) } \\ x_{1,2} = -1 ± \sqrt{1 + 3} \\ x_{1,2} = -1 ± \sqrt{4} = -1 ± 2 \)

Die zwei Lösungen lauten:

\( x_1 = -1 + 2 = 1 \\ x_2 = -1 - 2 = -3 \)

Zur Kontrolle können wir den Graphen zeichnen und schauen, ob die Nullstellen stimmen:

~plot~ 3*x^2+6*x-9;[[-6|6|-15|15]] ~plot~

Zusammenfassung der Lösungsschritte:

Die Lösungsschritte seien nachfolgend kurz zusammengefasst:

1. Funktion gleich null setzen, f(x) = … = 0
2. Etwaigen Vorfaktor von x² durch dividieren entfernen (bzw. er wird 1)
3. p-q-Formel zur Lösung verwenden
4. Lösung aufschreiben

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