Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel

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Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die pq-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x²+p·x+q = 0. Wichtig ist dabei, dass der Koeffizient von x² eine 1 ist, erst dann ist es eine Normalform. Auch eine Gleichung in Allgemeinform kann in die Normalform überführt werden. Man muss nur durch a dividieren.

Die pq-Formel lautet:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Machen wir wieder eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x²+6x-9 mit Hilfe der pq-Formel.“

Das erste was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen:

3·x² + 6·x - 9 = 0 | :3, denn wir müssen dafür sorgen, dass vor x² eine 1 steht
3·x²:3 + 6·x:3 - 9:3 = 0:3
1·x² + 2·x - 3 = 0 | pq-Formel anwenden, wobei p = 2 und q = -3

\( { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { 2 }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { 2 }{ 2 } \right)^{ 2 }-(-3) } \\ x_{1,2} = -1 ± \sqrt{1 + 3} = -1 ± \sqrt{4} = -1 ± 2 \)

Zusammenfassung der Lösungsschritte:

Die Lösungsschritte seien nachfolgend kurz zusammengefasst:

1. Funktion gleich null setzen, f(x) = … = 0
2. Etwaigen Vorfaktor von x² durch dividieren entfernen (bzw. er wird 1)
3. pq-Formel zur Lösung verwenden
4. Lösung aufschreiben

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