Nullstellen mit Hilfe der pq-Formel

Eine Alternative zur Nullstellenbestimmung ist die pq-Formel. Hierfür muss die Funktionsgleichung allerdings in Normalform vorliegen. Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist x²+p·x+q = 0. Wichtig ist dabei, dass der Koeffizient von x² eine 1 ist, erst dann ist es eine Normalform. Auch eine Gleichung in Allgemeinform kann in die Normalform überführt werden. Man muss nur durch a dividieren.

Die pq-Formel lautet:

$$ {x}_{1,2}=-\left(\frac{p}{2}\right) \pm \sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q} $$

Machen wir wieder eine Beispielaufgabe:

„Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x²+6x-9 mit Hilfe der pq-Formel.“

Das erste was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen:
3·x² + 6·x - 9 = 0 | :3, denn wir müssen dafür sorgen, dass vor x² eine 1 steht
3·x²:3 + 6·x:3 - 9:3 = 0:3
1·x² + 2·x - 3 = 0 | pq-Formel anwenden, wobei p = 2 und q = -3

$$ { x }_{ 1,2 } = -\left(\frac { 2 }{ 2 } \right) \pm \sqrt { \left(\frac { 2 }{ 2 } \right)^{ 2 }-(-3) } $$

x1,2 = -1 ± √( 1 + 3) = -1 ± √4 = -1 ± 2

Es ergibt sich: x1 = -1 + 2 = 1 und x2 = -1 - 2 = -3

Nochmals kurz zusammengefasst:
1. Funktion 0 setzen, f(x) = … = 0
2. Etwaigen Vorfaktor von x² durch dividieren entfernen (bzw. er wird 1)
3. pq-Formel zur Lösung verwenden
4. Lösung aufschreiben

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