Satz von Vieta

Zum Lösen von quadratischen Gleichungen werden oft die p-q-Formel und die abc-Formel verwendet. Gibt es dazu eigentlich Alternativen? Ja, sogar mehrere: Ein alternatives Lösungsverfahren ist die quadratische Ergänzung. Ein weiteres ist der Satz von Vieta, welcher besonders bei ganzzahligen Lösungen geeignet ist.

In diesem Artikel wollen wir also den Satz von Vieta vorstellen:

Eine quadratische Gleichung hat die allgemeine Form a·x2 + b·x + c = 0.

Der Satz von Vieta hingegen verlangt die Normalform (wie auch bei der p-q-Formel), weswegen wir im Falle von a ≠ 1 durch a dividieren. Damit kommen wir auf die Normalform:

x2 + p·x + q = 0

Nun besagt der Satz von Vieta, dass im vorliegenden Fall die beiden Lösungen x1 und x2 folgende Bedingungen erfüllen müssen:

1. x1 + x2 = -p
2. x1 · x2 = q

Nun hat man die ursprüngliche quadratische Gleichung so heruntergebrochen, dass es sich nun anbietet zu raten (Anmerkung: Raten ist in der Mathematik kein Sakrileg, solange man die Werte im Nachhinein untermauern kann! Beispielsweise durch eine Probe.). Die erste Gleichung bietet hierbei keinen Ansatz, da es unendlich viele ganzzahlige Möglichkeiten gibt, die Gleichung zu erfüllen. In der zweiten Gleichung hingegen kann man sich alleine auf die Teiler von q konzentrieren. Damit reduziert sich drastisch die Anzahl der Ratemöglichkeiten.

Der aufmerksame Leser mag nun argumentieren, dass man das schon mit q aus der Normalform machen kann und behält recht. Hingegen müssen die Werte in die komplette quadratische Gleichung eingesetzt und ausgewertet werden. Vieta hingegen hat uns das vereinfacht, in dem er einzig verlangt, die Werte anhand einer Summe zu überprüfen.

Anwendung an zwei Beispielen

Aufgabe 1

Es seien die Lösungen für x2 + x - 6 = 0 zu finden. Damit ist der erste Schritt die Identifizierung von p und q sowie das Aufstellen der beiden obigen Gleichungen.

p = 1 und q = -6

Damit erhalten wir die Gleichungen:

1. x1 + x2 = -1
2. x1 · x2 = -6

Konzentrieren wir uns nun auf die zweite Zeile und finden heraus, welche Teiler die Zahl -6 hat. Das sind ±1, ±2, ±3, ±6.

Die Möglichkeiten für solch eine Multplikation (x1 · x2 = -6) sind:

a. (-1) · 6

b. 1 · (-6)

c. (-2) · 3

d. 2 · (-3)

Damit haben wir alle möglichen Kombinationen gefunden, welche wir nun relativ leicht mit der ersten Gleichung überprüfen können. Laut dieser Gleichung muss -1 herauskommen, damit es sich bei x1 und x2 um eine gültige Lösung handelt.

a. (-1) + 6 = 5

b. 1 + (-6) = -5

c. (-2) + 3 = 1

d. 2 + (-3) = -1

Der Fall d ist also der gesuchte. Für x1 = 2 und x2 = -3 ist sowohl die erste Gleichung mit 2 + (-3) = -1 wie auch die zweite Gleichung mit 2 · (-3) = -6 erfüllt.

x1 = 2 und x2 = -3 sind also Lösungen unserer Gleichung.

Aufgabe 2

Diese unterscheidet sich insofern von der vorigen Aufgabe, als dass wir hier keine Gleichung in Normalform vorzuliegen haben.

Es sind die Lösungen für 3x2 + 3·x - 12 = 6 zu finden. Der erste Schritt ist folglich die Überführung in die Normalform. Dazu bringen wir alles auf eine Seite und dividieren durch den Vorfaktor von x2, hier also 3.

3·x2 + 3·x - 12 = 6    | -6
3·x2 + 3·x - 18 = 0    | :3
x2 + x - 6 = 0

Nun haben wir die Gleichung in Normalform überführt und können mit der Berechnung von p und q beginnen. Das können wir uns an dieser Stelle sparen, da wir die Normalform von Aufgabe 1 vorzuliegen haben. Die Lösung haben wir dort beschrieben (siehe oben).

Anwendungsmöglichkeiten

Die Anwendungsmöglichkeit, die wohl als erstes ins Auge sticht, ist die Bestimmung der (ganzzahligen) Lösungen einer quadratischen Gleichung, so wie in den beiden Aufgaben oben vorgeführt. Doch es gibt weitere sinnvolle Verwendungsmöglichkeiten für den Satz von Vieta.

Der Satz von Vieta ist auch hilfreich beim Konstruieren quadratischer Gleichungen anhand vorgegebener Lösungen. Hat man beispielsweise die Vorgabe der Lösungen x1 = 2 und x2 = 5, so ergibt sich sofort x2 - 7·x + 10 als eine mögliche Gleichung.

Begründung:

1. x1 + x2 = -p = -(2 + 5) = -7
2. x1 · x2 = q = 2 · 5 = 10

Eingesetzt in die Normalform:

x2 + p·x + q = 0
x2 - 7·x + 10 = 0