AB: Lektion Quadratische Funktionen (Teil 7)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Ein Bogenschütze schießt einen Pfeil senkrecht in die Höhe. Die Höhe h (in Metern) des Pfeils in Abhängigkeit der Zeit t (in Sekunden) wird beschrieben durch: h(t) = -4·t² + 15·t + 2
Was genau beschreibt die Gleichung? Was bedeutet h(t) = 0. Löse dies.
Die Gleichung beschreibt die Höhe eines Pfeils in Abhängigkeit der Zeit. So wird der Pfeil zum Zeitpunkt t = 0 aus einer Höhe von h(0) = 2, also 2 m, abgeschossen. Für h(t) = 0 ist der Aufschlag des Pfeils im Boden gemeint. Dies berechnet sich zu:
h(t) = -4·t² + 15·t + 2 = 0 | :(-4)
t² - 3,75·t - 0,5 = 0 | p-q-Formel mit p = -3,75 und q = -0,5
t1 ≈ 3,879
t2 ≈ -0,129
Letztgenannte Lösung ist nicht weiter relevant, da wir nicht an negativen Zeiten interessiert sind. Wir erfahren aber, dass der Pfeil etwa 3,9 s nach Abschuss im Boden stecken bleibt.
Welche maximale Höhe erreicht der Pfeil?
Um die maximale Höhe zu errechnen kann wiederum die Scheitelpunktform bestimmt werden.
-4·t² + 15·t + 2
= -4(t² - 3,75·t) + 2 | binomische Formel ergänzen
= -4(t² - 3,75·t + 1,875² - 1,875²) + 2
= -4((t-1,875)² - 1,875²) + 2
= -4(t-1,875)² - 3,515625·(-4) + 2
= -4(t-1,875)² + 16,0625
Damit können der Scheitelpunkt zu S(1,875|16,0625) und die maximale Höhe zu 16,06 m bestimmt werden.
Zeichne den Graphen.
Da schon die Nullstellen und der Scheitelpunkt bekannt sind, kann man direkt mit der Zeichnung beginnen. Diese sieht dann so aus:
