AB: Lektion Trigonometrische Gleichungen (Teil 2)

sin(x) = 0,5
sin(x) = 0,5 | sin^-1()
sin^-1( sin(x) ) = sin^-1(0,5)
x₁ = 30°

Nun nehmen wir die folgende Identität zu Hilfe und formen sie mit Hilfe vom Arkussinus um, sodass wir die zweite Lösung erhalten:

sin(x) = sin(180°-x)
sin(x) = 0,5
sin(180°-x) = 0,5 | sin^-1()
180°-x = sin(-1)(0,5)
180°-x = 30° | -180°
-x = -150° | ·(-1)
x₂ = 150°

Die Lösung im beschränkten Intervall:

x₁ = 30°, x₂ = 150° im Intervall [0°, 360°]

Die Berechnung erfolgt wie zuvor bei Aufgabe a. Am Ende jedoch legen wir die Lösungen anders fest:

Die Lösung im unbeschränkten Intervall mit Angabe der Periode:

x₁ = 30° + k·360° sowie x₂ = 150° + k·360°

cos(x) = 0,7 | cos^-1()
cos^-1(cos(x)) = cos^-1(0,7)
x₁ ≈ 45,6°

Gibt es weitere Lösungen? Ja, im Intervall [0°; 360°] gibt es eine weitere Lösung, die zwischen 270° und 360° liegen muss. Denkt hier an den Einheitskreis.

Wir nutzen eine Identität, um die Lösung zu ermitteln:
cos(x) = cos(-x)
cos(45,6°) = cos(-45,6°) = 0,7

Jetzt wissen wir, dass diese Identität gilt: cos(x) = cos(360° + x) und wir setzen ein:
cos(x) = cos(360° + x) | x = -45,6°
cos(-45,6°) = cos(360° - 45,6°) = cos(314,4°)
x₂ = 314,4°

Am besten ist es, wenn wir zuerst den Graphen von f(x) = cos(2·x) - 0,5 = 0 zeichnen, denn dann sehen wir, dass es mehrere Nullstellen bzw. Lösungen gibt:
~plot~ cos(2*x*pi/180)-0.5;{30|0};{150|0};{210|0};{330|0};[[-20|400|-2|2]] ~plot~

cos(2·x) = 0,5 | cos^-1()
cos^-1(cos(2·x)) = cos^-1(0,5)
2·x₁ ≈ 60°   |:2
x₁ = 30°

Gibt es weitere Lösungen? Ja, im Intervall [0°; 360°] gibt es eine weitere Lösung, die zwischen 270° und 360° liegen muss.

Die Periode ist durch die 2·x statt 360° nur noch 180°.
Eine weitere Lösung lautet also: x₂ = 30° +k·180°
Für k=1 ist es x₂ = 30° +1·180°.
x₂ = 210°

Wir nutzen eine Identität, um die nächste Lösung zu ermitteln:
cos(x) = cos(-x)
cos(30°) = cos(-30°) = 0,5

Jetzt wissen wir, dass diese Identität gilt: cos(x) = cos(360° + x) und wir setzen ein:
cos(x) = cos(360° + x) | x = -45,6°
cos(-30°) = cos(360° - 30°) = cos(330°)
x₃ = 330°

Und wieder mit Hilfe der Periode: x₄ = 330° +k·180°.
Wobei wir nun rückwärts gehen müssen, also mit k=-1. Es ergibt sich:
x₄ = 330° + (-1)·180°
x₄ = 150°

So haben wir nun alle vier Lösungen im Intervall [0°; 360°] bestimmt mit:
x₁ = 30°
x₂ = 210°
x₃ = 330°
x₄ = 150°

Es sei angemerkt, dass es verschiedene Wege gibt, um auf diese Lösungen zu kommen.