Trigonometrische Gleichungen - Einführung

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Als nächstes wollen wir uns die trigonometrischen Gleichungen anschauen. Tasten wir uns an das Thema heran mit einer bekannten Gleichung:

\( 2·x = 5 \)

Die Lösung der obigen linearen Gleichung ist \( x = 2,5 \). Das ist eine eindeutige Lösung.

Wählen wir eine Bruchgleichung:

\( \frac{2}{x} = 0 \)

Hier hat x keine Lösung, denn:

$$ \frac{2}{x} = 0 \quad | ·x \\ 2 = 0·x \\ 2 = 0 $$

Der Wert für x ist nicht definiert.

Betrachten wir eine quadratische Gleichung:

\( x^2 = 4 \)

Lösung ist hier \( x_1 = 2 \) und \( x_2 = -2 \). Es gibt zwei Lösungen.

Merken wir uns:

Es gibt Gleichungen, bei denen wir mehrere Lösungen für x herausbekommen.

Bei den trigonometrischen Gleichungen erhalten wir sogar unendlich viele Lösungen.

Als Beispiel:

\( sin(x) = 1 \)

Wenn wir an den Einheitskreis denken, erkennen wir sofort, dass x = 90° sein muss. Lösung mittels Arkussinus:

\( \begin{array}{ll} \sin(x) &= 1 \qquad | \color{#00F}{\sin^{-1}()} \\ \color{#00F}{\sin^{-1}(} \sin(x) \color{#00F}{)} &= \color{#00F}{\sin^{-1}}(1\color{#00F}{)} \\ x &= 90° \end{array} \)

Es scheint eine eindeutige Lösung zu sein, aber dies ist nicht unbedingt der Fall. Wir hatten gelernt, dass wir im Einheitskreis beliebig oft 360° vorwärts gehen oder rückwärts gehen können und damit den gleichen Sinuswert erhalten. Das heißt:

\( \sin(90°+360°) = 1 \)

oder

\( \sin(90° - 720°) = 1 \)

Dies müssen wir bei unserer Lösung für \( \sin(x)=1 \) berücksichtigen.

Es wäre nur ein Ergebnis mit x = 90°, wenn wir nur Winkel zwischen 0° und 360° betrachten. So eine Festlegung nennt man dann “Intervall” (lateinisch „Intervallum“ = Zwischenraum). Schreibweise: [0°, 360°]

Wenn wir jedoch das Intervall [0°, 720°] wählen, so haben wir zwei Ergebnisse: \( x_{1} = 90° \) und \( x_{2} = 90° + 360° = 450° \).

Wir merken uns:

Mit der Festlegung des Intervalls erhalten wir die entsprechenden Lösungsmöglichkeiten für x.

Wenn wir kein Intervall haben, dann geht das Intervall geht von -unendlich bis unendlich. Man schreibt: \( ]-∞, ∞[ \). Die Klammern werden hier umgedreht, da so gezeigt wird, dass das Element nicht enthalten ist. Da wir Unendlich nicht als Zahl erreichen können, kann Unendlich auch nicht im Intervall enthalten sein.

Mit diesem Intervall haben wir unendlich viele Lösungen. Wir könnten jetzt beliebig oft +360° bzw. -360° rechnen, der Sinuswert wäre stets der gleiche. Lösungen sind: …, -630°, -270°, 90°, 450°, 810°, 1170°, … Dies drücken wir mit einer Variablen wie folgt aus:

\( \sin(x) = 1 \\ x = 90° + k·360° \)

Dies ist die Lösungsgleichung, sie beschreibt uns die möglichen Werte für x.

Der Vollständigkeit halber die Angabe der Lösung in Bogenmaß:

\( x = 90° + k·360° \\ x = 0,5π + k·2π \)

Schauen wir uns den Funktionsgraphen von \( f(x) = sin(x) = y \) an und betrachten die Lösungen (wann ist y = 1):

~plot~ sin(x);1;x=0.5pi;x=-1.5pi ~plot~

Wir erkennen z. B. \( x_{1} = 0,5π = 90° \) und \( x_{2} = -1,5π = 270° \)

Wenn wir die Ansicht oben herauszoomen, sehen wir weitere mögliche Werte.

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