Lösen der Kosinusgleichung 1·cos(2·x-90°) + 0,5

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Berechnen wir im Folgenden eine Beispielaufgabe:

\( 1·cos(2·x-90°) + 0,5 \)

Anwendung der Lösungsformel für Nullstellen:

\( x = \frac{cos^{-1}(-d) - c}{b} \\ x = \frac{\cos^{-1}(-0,5) - (-90°)}{2} \\ x = \frac{120° + 90°}{2} \\ x_1 = 105° \)

Weitere Nullstelle mit Identität bestimmen:

Identität: \( \cos(x) = \cos(-x) \)

Nun haben wir nicht nur \( x \), sondern \( 2·x-90° \):

\( \cos(2·x-90°) = \cos(-(2·x-90°)) \\ \cos(2·x-90°) = \cos(-2·x + 90°) \qquad | x_1 = 105° \\ \cos(2·105° - 90°) = \cos(-2·105° + 90°) \\ \cos(120°) = \cos(-120°) \)

Um auf \( x = -120° \) zu kommen, rechnen wir:

\( \cos(2·x-90°) = \cos(-120°) \\ 2·x-90° = -120° \qquad | +90° \\ 2·x = -30° \qquad | :2 \\ x_2 = -15° \)

Betrachten wir die Gleichung als Funktionsgleichung, um die Lösungen anhand der Nullstellen des Graphen zu erkennen:

Kosinusgraph mit allen Parametern

Die zweite Nullstelle ist bei \( x = -15° \).

Die Periode ist \( T = \frac{360°}{2} = 180° \), Perioditätssummand damit \( k·180° \). Das heißt wir rechnen auf -15° die 180° herauf und kommen auf 165°. Dies ist eine weitere Nullstelle. Allgemein notieren wir die Lösung also als:

\( x_1 = 105° + k·180° \)

\( x_2 = -15° + k·180° \)
bzw.
\( x_2 = 165° + k·180° \) (hier haben wir auf die -15° + 180° heraufaddiert)

Hier noch einmal ein dynamischer Graph der Funktionsgleichung:

~plot~ cos(2*x*pi/180-90*pi/180) + 0.5;{105|0};{-15|0};[[-400|400|-1.2|2]] ~plot~

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