Lösen der Kosinusgleichung 1·cos(2·x-90°) + 0,5

Berechnen wir im Folgenden eine Beispielaufgabe:

1·cos(2·x-90°) + 0,5

Anwendung der Lösungsformel für Nullstellen:

\( x = \frac{cos^{-1}(-d) - c}{b} \\ x = \frac{\cos^{-1}(-0,5) - (-90°)}{2} \\ x = \frac{120° + 90°}{2} \\ x_1 = 105° \)

Weitere Nullstelle mit Identität bestimmen:

Identität: cos(x) = cos(-x)

Nun haben wir nicht nur x, sondern 2·x-90°:

cos(2·x-90°) = cos(-(2·x-90°))
cos(2·x-90°) = cos(-2·x + 90°)    | x1 = 105°
cos(2·105° - 90°) = cos(-2·105° + 90°)
cos(120°) = cos(-120°)

Um auf x = -120° zu kommen, rechnen wir:

cos(2·x-90°) = cos(-120°)
2·x-90° = -120°     | +90°
2·x = -30°          | :2
x2 = -15°

Betrachten wir die Gleichung als Funktionsgraph, um die Lösungen anhand der Nullstellen des Graphen zu erkennen:

Kosinusgraph mit allen Parametern

Die zweite Nullstelle ist bei x = -15°.

Die Periode ist \( T = \frac{360°}{2} = 180° \), Perioditätssummand damit k·180°. Das heißt wir addieren auf -15° die 180° herauf und kommen auf 165°. Dies ist eine weitere Nullstelle.

Allgemein notieren wir die Lösung also als:

x1 = 105° + k·180°

x2 = -15° + k·180°
bzw.
x2 = 165° + k·180° (hier haben wir auf die -15° die 180° heraufaddiert)

Hier noch einmal der Graph der Funktionsgleichung:

~plot~ cos(2*x*pi/180-90*pi/180) + 0.5;{105|0};{-15|0};[[-400|400|-1.2|2]];noinput;nolabel ~plot~