Lösen der trigonometrischen Gleichungen: cos(x) = -0,5

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Lösen wir eine Kosinusgleichung:

cos(x) = -0,5

Wir wollen den Winkel finden, der den Kosinuswert -0,5 hat. Schauen wir zuerst wieder am Einheitskreis:

Einheitskreis mit Kosinus

Auf der x-Achse des Einheitskreises ist links x = -0,5 zu finden, dies ist beim Winkel 120° der Fall. Verwenden wir den Arcuskosinus, um dies zu berechnen:

cos(x) = -0,5 | cos-1
cos-1(cos(x)) = cos-1(-0,5)
x1 = 120°

Fragt sich, ob es noch weitere Werte als Lösungen gibt. Hierfür müssen wir das Intervall kennen. Für das Intervall 0° bis 360° lohnt ein Blick auf den Einheitskreis:

Einheitskreis mit Kosinus und Identität

Mit der Identität cos(x) = cos(-x) errechnen wir den zweiten Winkel.

cos(x) = cos(-x)
cos(120°) = cos(-120°) = 0,5

Jetzt wissen wir, dass diese Identität gilt: cos(x) = cos(360° + x) und wir setzen ein:

cos(x) = cos(360° + x) | x = -120°
cos(-120°) = cos(360° - 120°) = cos(240°)
x2 = 240°

Es gibt mehrere Wege, um auf diesen Wert zu kommen, je nachdem, welche Identitäten wir zur Hilfe nehmen.

Lösung: Im Intervall [0°, 360°] haben wir zwei Lösungen: x1 = 120° und x2 = 240°

Lösungen im unbeschränkten Interval

Liegt keine Einschränkung des Intervalls vor, dann müssen wir den Periodizitätssummanden heraufaddieren:

cos(x) = -0,5
x1 = 120° + k·360°
x2 = 240° + k·360°

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